フーリエ級数:第2回:フーリエ級数の係数計算(その1)

ここでは一般性を重視して周期2Lの周期関数のフーリエ級数を伝授する。周期2Lの周期関数f(x)は次のように展開出来ることが知られている(第一項目に$\frac{1}{2}$が付いているが、これは慣習で、こうしておくと公式が見通しよく作れる)。

\begin{eqnarray}
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
+
b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
\right)
\end{eqnarray}

問題はこの係数の求め方で、この係数を実際に求めて初めてフーリエ級数展開が完了する。実はこの係数を求める為に必要なものは以下の公式だけである。(mやnを0を含む自然数として)

\begin{eqnarray}
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&L\delta_{mn}\\
\int_{-L}^{L}\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&L\delta_{mn}\\
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&0\\
\int_{-L}^{L}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&0\\
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)dx&=&0
\end{eqnarray}

これは(和積の公式を用いた)簡単な積分計算から確かめられる。実際にこの公式を用いて係数を求める作業は次の回に回すとして、ここでは上記の公式の意味していることに着目してみたい。なお公式の導出にだけ興味がある者は遠慮なく次の記事に行ってもらって全く問題ない。

上記に列挙した公式の最後の2つの式を次のように

\begin{eqnarray}
\int_{-L}^{L}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\times 1dx&=&0
\\
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\times 1dx&=&0
\end{eqnarray}

と書き直し、更に次の自明な式

\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L1\times 1dx=2L
\end{eqnarray}

を一緒にするとこの一連の式が言っていることが少し明瞭になるかもしれない。というのも、まず高校数学を思い出すと、3次元の基底は

\begin{eqnarray}
\left\{
\mathbf{e}_x~,~\mathbf{e}_y~,~\mathbf{e}_z
\right\}
\end{eqnarray}

の3つが取れて、さらに内積によって

\begin{eqnarray}
\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=\delta_{ij}
\end{eqnarray}

のように直交条件を課すことが出来ていた。実は上で書いた一連の式もこれと本質的には同じことを言っている。つまり今の場合、基底を

\begin{eqnarray}
\left\{
1,
\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right),\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right),
\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right),\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right),\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right),\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right),\cdots
\right\}
\end{eqnarray}

と考え、上記の積分を見ると、自分と同じ関数との積の積分は非0の量になるが、自分以外の関数との積の積分は0になっており、まさに直交条件と同じものになっている。
例えば

\begin{eqnarray}
ex)~~
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)dx&=&0\\
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx&=&L\\
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx&=&0\\
\int_{-L}^{L}1\times\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx&=&0
\end{eqnarray}

などのように。(シグマの代わりに積分が出てきているが、)ベクトルの直交性と似た形になっていることが明らかだろう。

ベクトルとの類似性がピンと来ていない読者の為に、次のような説明もしてみる。まず通常の3次元ベクトルは例えば

\begin{eqnarray}
\textbf{x}=(x_1,x_2,x_3)
\end{eqnarray}

のような成分を持っていて、内積\(\textbf{x}\cdot\textbf{y}\)というのは

\begin{eqnarray}
\textbf{x}\cdot\textbf{y}
\equiv
\sum_{i=1}^3x_iy_i
\end{eqnarray}

で定義されていた。勿論これをn次元ベクトルの内積に拡張することは自明な作業で

\begin{eqnarray}
\textbf{x}\cdot\textbf{y}
\equiv
\sum_{i=1}^nx_iy_i
\end{eqnarray}

とすればよい。

さて、n次元ベクトルというのはn個の数を持つ物なので、イメージとしてはn個の引き出しを持った棚と考えることが出来ると思う。では関数はどうだろうか。関数\(f(x)\)を考えてみると、\(x\)を一つ指定する事で対応する値\(f(x)\)を得ることが出来る。これはベクトル\(\textbf{x}\)の第\(i\)成分を指定すると成分\(x_i\)が得られるのと全く同じであるという事が分かるだろう。)~唯一の違い(しかし大きな違い)は今まで扱ってきたベクトルが\(i\)が\(1\)から\(n\)くらいまでしか動かなかったことに対し、関数\(f(x)\)の\(x\)は”連続的に”-\(\infty\)から\(\infty\)まで動くことが出来る、という点にある。つまり関数というのは引き出しの数が無限個の棚であり、しかも各引き出しは連続的な番号で指定されるというのが大きな特徴である。

関数もベクトルも本質的には沢山の引き出しを持った棚である事が分かった。ではこの類似性に注目して関数にも内積を定義してあげよう。これは自明なお仕事で、まずベクトルの内積を再掲すると

\begin{eqnarray}
\textbf{x}\cdot\textbf{y}
\equiv
\sum_{i=1}^nx_iy_i
\end{eqnarray}

であった。この内積の定義を言葉で言えば「2つの棚を用意し、同じ番号で指定される引き出しから数を取り出し、その2つの数を掛け合わせてください。その作業を全部の引き出しついて行った後、それを足し上げてください」というものである。だから、これを2つの関数\(f(x)\)と\(g(x)\)に拡張すれば(イメージ的には)

\begin{eqnarray}
f\cdot g\equiv \sum_{全てのx}f(x)g(x)
\end{eqnarray}

とすればよく、我々は区分求積法などの知見から連続的な和は積分に置き換えられる事を知っているので、もう少し厳密に

\begin{eqnarray}
f\cdot g\equiv \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x) dx
\end{eqnarray}

としてやると完璧だと言えるだろう。なお積分領域は説明上実数全体に渡って行っているが、必要に応じて適切な区間にすれば良い。実際、フーリエ級数の理論では積分領域は\([-\pi,\pi]\)にしたり\([-L,L]\)にしたりと様々である。棚の引き出しの分だけ積分範囲を取ればいい。

ここまで説明すれば上述の積分公式の一覧が当に直交関係式になっていることが明瞭になっただろう。くどいかもしれないが総括すると、フーリエ級数では周期関数を表す基底として

\begin{eqnarray}
\left\{
1,
\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right),\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right),
\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right),\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right),\sin\left(\frac{3\pi x}{L}\right),\cos\left(\frac{3\pi x}{L}\right),\cdots
\right\}
\end{eqnarray}

を採用するが、前述の(次の回で係数を求めるために使う)積分公式は

\begin{eqnarray}
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&L\delta_{mn}\\
\int_{-L}^{L}\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&L\delta_{mn}\\
\int_{-L}^{L}1\times 1dx&=&2L
\\
\nonumber\\
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&0\\
\int_{-L}^{L}1\times \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&0
\\
\int_{-L}^{L}1\times \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)dx&=&0
\end{eqnarray}

であるが、ちゃんと先程定義した内積を用いた直交関係式になっている。

\begin{eqnarray}\underline{\text{以後、この公式群を直交関係式と呼ぶのでよろしく。}}\end{eqnarray}

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