フーリエ級数:第4回:複素フーリエ級数

今まで見てきたフーリエ級数は\(\sin\)や\(\cos\)を用いてきた。しかしオイラーの公式
\begin{eqnarray}
e^{ix}=\cos x+i\sin x
\end{eqnarray}
を思い出すと、先程得たフーリエ級数展開の公式を指数関数を使ってもう少しスマートにまとめられそうだ。まずオイラーの公式より
\begin{eqnarray}
\cos \left(\frac{\pi x}{L}\right)&=&\frac{1}{2}\left(
e^{i\frac{\pi x}{L}}+e^{-i\frac{\pi x}{L}}
\right)\\
\sin \left(\frac{\pi x}{L}\right)&=&
-\frac{i}{2}\left(
e^{i\frac{\pi x}{L}}-e^{-i\frac{\pi x}{L}}
\right)
\end{eqnarray}
という公式が得られる。ここでフーリエ級数展開を再掲すると
\begin{eqnarray}
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
+
b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
\right)
\end{eqnarray}
であったから、これを指数関数で書き直すと、
\begin{eqnarray}
f(x)&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
+
b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
\right)\\
&=&
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n
\left[
\frac{1}{2}\left(
e^{i\frac{n\pi x}{L}}+e^{-i\frac{n\pi x}{L}}
\right)
\right]
+
b_n
\left[
-\frac{i}{2}\left(
e^{i\frac{n\pi x}{L}}-e^{-i\frac{n\pi x}{L}}
\right)
\right]
\right)\\
&=&
\frac{a_0}{2}
+
\sum_{n=1}^\infty
\left[
\left(
\frac{a_n-ib_n}{2}
\right)
e^{i\frac{n\pi x}{L}}
+
\left(
\frac{a_n+ib_n}{2}
\right)
e^{-i\frac{n\pi x}{L}}
\right]
\end{eqnarray}
という表式が得られる。ここで
\begin{eqnarray}
a_n&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx\\
b_n&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx
\end{eqnarray}
から直ぐ得られる関係式
\begin{eqnarray}
a_{-n}&=&a_n\\
b_{-n}&=&-b_n\\
b_0&=&0
\end{eqnarray}
を用いて上記の式を更に書き直すと
\begin{eqnarray}
f(x)&=&
\frac{a_0}{2}
+
\sum_{n=1}^\infty
\left[
\left(
\frac{a_n-ib_n}{2}
\right)
e^{i\frac{n\pi x}{L}}
+
\left(
\frac{a_n+ib_n}{2}
\right)
e^{-i\frac{n\pi x}{L}}
\right]\\
&=&
\frac{a_0}{2}
+
\sum_{n=1}^\infty
\left[
\left(
\frac{a_n-ib_n}{2}
\right)
e^{i\frac{n\pi x}{L}}
+
\left(
\frac{a_{-n}-ib_{-n}}{2}
\right)
e^{i\frac{(-n)\pi x}{L}}
\right]\\
&=&
\frac{a_0-ib_0}{2}e^{i\frac{0\pi x}{L}}
+
\sum_{n=1}^\infty
\left[
\left(
\frac{a_n-ib_n}{2}
\right)
e^{i\frac{n\pi x}{L}}
+
\left(
\frac{a_{-n}-ib_{-n}}{2}
\right)
e^{i\frac{(-n)\pi x}{L}}
\right]\\
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
c_n\equiv\frac{a_n-ib_n}{2}
\end{eqnarray}
を用いることで
\begin{eqnarray}
f(x)=\sum_{-\infty}^\infty
c_ne^{\frac{in\pi x}{L}}
\end{eqnarray}
とコンパクトな形に纏めることが出来た。次に
\begin{eqnarray}
a_n&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx\\
b_n&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx
\end{eqnarray}
を用いて\(c_n\)の式を求めると
\begin{eqnarray}
c_n&\equiv&
\frac{a_n-ib_n}{2}\\
&=&
\frac{1}{2}\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx
-\frac{i}{2}\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx\\
&=&
\frac{1}{2L}\int_{-L}^L
f(x)\left(
\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)i
\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
\right)\\
&=&
\frac{1}{2L}\int_{-L}^L
f(x)
e^{-\frac{in\pi x}{L}}
\end{eqnarray}
となる。
以上で全てが求まった。総括すると、関数f(x)の複素フーリエ級数は
\begin{eqnarray}
f(x)&=&\sum_{-\infty}^\infty
c_ne^{\frac{in\pi x}{L}}\\
c_n&=&\frac{1}{2L}\int_{-L}^L
f(x)
e^{-\frac{in\pi x}{L}}
\end{eqnarray}
となる。この公式はフーリエ変換の項で必要になるので意外と重要な公式である。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です