フーリエ級数:第8回:パーゼバルの等式

今までフーリエ級数
\begin{eqnarray}
ex)~~~f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) \right]~~~(周期2\pi のフーリエ級数)
\end{eqnarray}
に関するいくつかの話題を見てきた。次に見るのは「パーゼバルの等式」というものである。

\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi|f(x)|^2dx
&=&
\int_{-\pi}^\pi
\left|
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
\left[
a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)
\right]
\right|^2dx\\
&\downarrow&(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)を使う
\nonumber\\
&=&
\int_{-\pi}^\pi dx
\left\{
\frac{1}{4}a_0^2
+
\sum_{n,m=1}^\infty a_na_m\cos(nx)\cos(mx)
+
\sum_{n,m=1}^\infty b_nb_m\sin(nx)\sin(mx)
\right.\nonumber\\
&&~~~ +\left. \sum_{n=0}^\infty\left( a_0a_n\cos(nx) + a_0b_0\sin(nx) \right) + 2\sum_{n,m=1}^{\infty} a_nb_n\cos(nx)\sin(nx)\right\}\nonumber\\
&=&\frac{1}{4}\int_{-\pi}^\pi a_0^2dx + \sum_{n,m=1}^\infty a_na_m\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx)dx + \sum_{n,m=1}^\infty b_nb_m\int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\sin(mx)dx \nonumber\\
&&~~~
+
\sum_{n=0}^\infty\left(
a_0a_n\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)dx
+
a_0b_0\int_{-\pi}^\pi \sin(nx)dx
\right)
+
2\sum_{n,m=1}^{\infty}
a_nb_n\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\sin(nx)dx\nonumber\\
\end{eqnarray}

さてここで直交関係式
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&L\delta_{mn}\\
\int_{-L}^{L}\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&L\delta_{mn}\\
\int_{-L}^{L}1\times 1dx&=&2L\\
\nonumber\\
\int_{-L}^{L}\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&0\\
\int_{-L}^{L}1\times \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx&=&0\\
\int_{-L}^{L}1\times \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)dx&=&0
\end{eqnarray}
を思い出すと今の場合(\(L=\pi\))、上式の第二行目は全て0になる。そして一行目の第二項・第三項は\(m=n\)の時のみ0でない値を持つ事が分かる。従って次の結果を得る。
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi|f(x)|^2dx
&=&
\frac{1}{4}\int_{-\pi}^\pi a_0^2dx
+
\sum_{n=1}^\infty a_n^2\int_{-\pi}^\pi \cos^2(nx)dx
+
\sum_{n=1}^\infty b_n^2\int_{-\pi}^\pi \sin^2(nx)dx\\
&=&
\frac{\pi}{2}a_0^2
+
\pi\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n^2+b_n^2
\right)
\end{eqnarray}
以上より、パーゼバルの等式
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi|f(x)|^2dx=
\frac{\pi}{2}a_0^2
+
\pi\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n^2+b_n^2
\right)
\end{eqnarray}
を得る。

これが正しいかどうか、簡単な例で検算してみよう。我々\(y=x\)のフーリエ級数(周期\(2\pi\))を知っていて、その結果は
\begin{eqnarray}
x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)
\end{eqnarray}
であった。ここから
\begin{eqnarray}
a_n&=&0\\
b_n&=&\frac{2(-1)^{n+1}}{n}
\end{eqnarray}
を読み取れる。これを今得た公式に代入してみよう。
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi|x|^2dx&=&
\pi\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
\frac{2(-1)^{n+1}}{n}
\right)^2\\
\frac{2}{3}\pi^3&=&4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\\
&\downarrow&整理\nonumber\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
&=&
\frac{\pi^2}{6}
\end{eqnarray}
という結果を得るが、これは以前の記事で我々が求めた結果にちゃんと一致している。


ちなみにパーゼバルの等式を求めるにあたって、複素フーリエ級数だともう少しコンパクトな結果で答えを求めることが出来る。複素フーリエ級数を再掲すると
\begin{eqnarray}
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}
\end{eqnarray}
という形であった。この式と指数関数に関する直交関係式(この公式は初出かも。でも簡単に導出できる)
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi e^{inx}e^{-imx}dx=2\pi\delta_{nm}
\end{eqnarray}
を用いると、
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi|f(x)|^2dx
&=&
\int_{-\pi}^\pi\left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}\right|^2dx\\
&=&
\int_{-\pi}^\pi\sum_{n,m=-\infty}^{\infty}c_nc_m^\ast e^{inx}e^{-imx}dx\\
&=&
\sum_{n,m=-\infty}^{\infty}c_nc_m^\ast \int_{-\pi}^\pi e^{inx}e^{-imx}dx\\
&=&
\sum_{n,m=-\infty}^{\infty}c_nc_m^\ast 2\pi\delta_{mn}\\
&=&
2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2
\end{eqnarray}
つまり
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi|f(x)|^2dx
&=&
2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2
\end{eqnarray}
という複素フーリエ版パーゼバルの等式を得ることが出来る。

この複素フーリエ版のパーゼバルの等式が、先程導いたパーゼバルの等式に等しいことを示しておこう。まず複素フーリエ級数の回で見たように、我々は
\begin{eqnarray}
c_n&=&\frac{a_n-ib_n}{2}\\
a_n&=&a_{-n}\\
b_n&=&-b_{-n}
\end{eqnarray}
が成り立つことを知っている。故にこれを上式に代入すれば
\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^\pi|f(x)|^2dx
&=&
2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2\\
&=&
2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|
\frac{a_n-ib_n}{2}
\right|^2\\
&=&
\frac{\pi}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(
a^2_n+b^2_n
\right)\\
&=&
\frac{\pi}{2}\left[
\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a^2_n+b^2_n
\right)
+
\sum_{n=-\infty}^{-1}
\left(
a^2_n+b^2_n
\right)
+
\left(
a^2_0+b^2_0
\right)
\right]\\
&\downarrow&a_n=a_{-n},
b_n=-b_{-n},b_0=0を用いると\\
&=&
\frac{\pi}{2}
\left[
a_0^2
+2\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a^2_n+b^2_n
\right)
\right]\\
&=&
\frac{\pi}{2}a_0^2+{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a^2_n+b^2_n
\right)
\end{eqnarray}
従って複素版パーゼバルの等式は元のパーゼバルの等式と完全に等価であることが言えた。一安心。

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