素粒子標準模型:ヒッグス場とゲージ場:ゲージ場の運動項

ゲージ場の運動項を考えよう。これは通常のものを採用すればよく、
\begin{eqnarray}
W_{\mu\nu}&\equiv&\partial_\mu W_\nu-\partial_\nu W_\mu-ig_2[W_\mu,W_\nu]\\
B_{\mu\nu}&\equiv&\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu
\end{eqnarray}
を用いて
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{gauge-kin} &=& -\frac{1}{4}W_{\mu\nu}^aW^{a\mu\nu}-\frac{1}{4}B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}
\end{eqnarray}
と取る。次の課題として、自発的対称性の破れが起こると物理的粒子は\(W^i_\mu,B_\mu\)から\(A_\mu,Z_\mu,W_\mu^\pm\)に変わるので、この運動項を後者の(質量固有状態の)ゲージ場で書き直そう。
\begin{eqnarray}
W_{\mu\nu}&=&\partial_\mu W_\nu-\partial_\nu W_\mu-ig_2[W_\mu,W_\nu]\\
&=&
(\partial_\mu W_\nu^a)T^a-(\partial_\nu W_\mu^a)T^a-ig_2W^a_\mu W^b_\nu[T^a,T^b]\\
&=&
(\partial_\mu W_\nu^a)T^a-(\partial_\nu W_\mu^a)T^a-ig_2W^a_\mu W^b_\nu(i\epsilon_{abc}T^c)\\
&=&
(\partial_\mu W_\nu^a)T^a-(\partial_\nu W_\mu^a)T^a+g_2\epsilon_{abc}W^a_\mu W^b_\nu T^c
\end{eqnarray}
であったから

\begin{eqnarray}
W_{\mu\nu}^1&=&
\partial_\mu W_\nu^1-
\partial_\nu W_\mu^1
+
g_2(W_\mu^2W_\nu^3-W_\nu^2W_\mu^3)\\
W_{\mu\nu}^2&=&
\partial_\mu W_\nu^2-
\partial_\nu W_\mu^2
+
g_2(W_\mu^3W_\nu^1-W_\nu^3W_\mu^1)\\
W_{\mu\nu}^3&=&
\partial_\mu W_\nu^3-
\partial_\nu W_\mu^3
+
g_2(W_\mu^1W_\nu^2-W_\nu^1W_\mu^2)
\end{eqnarray}

より

\begin{eqnarray}
&&\frac{1}{2}\left[W_{\mu\nu}^1W^{1\mu\nu}+W_{\mu\nu}^2W^{2\mu\nu}\right]\\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
W_{\mu\nu}^1+iW_{\mu\nu}^2
\right)
\times
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
W^{1\mu\nu}-iW^{2\mu\nu}
\right)\\
&=&
\left[
\partial_\mu W_\nu^-
-\partial_\nu W_\mu^-
+
ig_2\left(
W_\mu^3W_\nu^-

W_\nu^3W_\mu^-
\right)\right]\\
&&~~~\times
\left[\partial^\mu W^{+\nu}-\partial^\nu W^{+\mu}-
ig_2\left(
W^{3\mu}W^{+\nu}-W^{3\nu}W^{+\mu}
\right)\right]\\
&=&
\left[\left(\partial_\mu+ig_2W_\mu^3\right)W^-_\nu-
(\mu\leftrightarrow\nu)
\right]
\left[\left(\partial^\mu-ig_2W^{3\mu}\right)W^{+\nu}-
(\mu\leftrightarrow\nu)
\right]
\end{eqnarray}

ここで\(D_\mu \equiv\partial_\mu-ig_2W_\mu^3\)を導入してやると

\begin{eqnarray} &&\frac{1}{4}\left[W_{\mu\nu}^1W^{1\mu\nu}+W_{\mu\nu}^2W^{2\mu\nu}\right]\\
&=&\frac{1}{2}\left[\left(\partial_\mu+ig_2W_\mu^3\right)W^-_\nu-
(\mu\leftrightarrow\nu)
\right]
\left[\left(\partial^\mu-ig_2W^{3\mu}\right)W^{+\nu}-
(\mu\leftrightarrow\nu)
\right]\\
&=&
\frac{1}{2}\left(
D_\mu W_\nu^+-D_\nu W_\mu^+
\right)
\left(
D^{\dagger\mu}W^{-\nu}-D^{\dagger\nu}W^{-\mu}
\right)
\end{eqnarray}
というように纏めることが出来る。次に\(W^3\)を見てみる。
\begin{eqnarray}
W_{\mu\nu}^3&=&
\partial_\mu W_\nu^3-\partial_\nu W_\mu^3+g_2(W_\mu^1W_\nu^2-W_\nu^1W_\mu^2)\\
&=&
c_wZ_{\mu\nu}
+
s_wA_{\mu\nu}
+
ig_2(W_\mu^-W_\nu^+-W_\mu^+W_\nu^-)
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
&&W_{\mu\nu}^3W^{3\mu\nu}+B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}\\
&=&
\left[c_wZ_{\mu\nu}
+
s_wA_{\mu\nu}
+
ig_2(W_\mu^-W_\nu^+-W_\mu^+W_\nu^-)\right]^2
+
\left[
-s_wZ_{\mu\nu}+c_wA_{\mu\nu}
\right]^2\\
&=&
Z_{\mu\nu}Z^{\mu\nu}
+
A_{\mu\nu}A^{\mu\nu}
+
2ig_2(
c_wZ^{\mu\nu}
+
s_wA^{\mu\nu}
)
(W_\mu^-W_\nu^+-W_\mu^+W_\nu^-)
-g^2_2(W_\mu^-W_\nu^+-W_\mu^+W_\nu^-)^2\nonumber\\
\\
&=&
Z_{\mu\nu}Z^{\mu\nu}
+A_{\mu\nu}A^{\mu\nu}
-4ig_2(
c_wZ^{\mu\nu}
+
s_wA^{\mu\nu}
)W_\mu^+W_\nu^-

2g^2_2\left(
W_\nu^+W^{+\nu}W_\mu^-W^{-\mu}
W^{+\mu}W_\mu^-
W_\nu^+W^{-\nu}
\right)\nonumber\\
\end{eqnarray}
以上を統合すると、ゲージ場の運動項に関する元のラグランジアンは
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{gauge-kin}=-\frac{1}{4}W_{\mu\nu}^aW^{a\mu\nu}-\frac{1}{4}B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}
\end{eqnarray}
であったので、まずゲージ場の部分からは
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{gauge-kin} &=& -\frac{1}{2}\left( D_\mu W_\nu^+-D_\nu W_\mu^+
\right)
\left(
D^{\dagger\mu}W^{-\nu}-D^{\dagger\nu}W^{-\mu}\right)
-\frac{1}{4}Z_{\mu\nu}Z^{\mu\nu}
-\frac{1}{4}
A_{\mu\nu}A^{\mu\nu}\nonumber\\
&&~~~
+
ig_2(
c_wZ_{\mu\nu}
+
s_wA_{\mu\nu}
)
W_\mu^+W_\nu^-
+
\frac{1}{2}g^2_2\left(
W_\mu^-W_\nu^+W^{-\mu}W^{+\nu}

W_\mu^-W_\nu^+
W^{+\mu}W^{-\nu}
\right)
\end{eqnarray}

となる。ゲージ場の運動項の書き換えは以上だが、次にヒッグスのラグランジアンから来る項を考えよう。ヒッグス場の自発的対称性の破れの後のラグランジアンを再掲すると

\begin{eqnarray}
\mathcal{L}
&=&
\frac{1}{2}\partial_\mu h\partial^\mu h
+
\frac{M^2_Z}{2v^2}Z_\mu Z^\mu\left(2vh+h^2\right)
+
\frac{M_W^2}{v^2}W_\mu^+W^{-\mu}(2vh+h^2)+
\frac{1}{2}M_Z^2Z_\mu Z^\mu
+
M^2_WW_\mu^+W^{-\mu}\nonumber\\
&&
-\frac{1}{2}m_h^2h^2-\frac{1}{4}\lambda vh^3-\frac{1}{16}\lambda h^4
\end{eqnarray}

であったから、ここからゲージ場だけが含まれている項だけ取り出してくると(それは結局ゲージ場の質量項の事)、2つを合わせることでゲージ場に関する以下の完全なラグランジアンを得る。

\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{gauge} &=& -\frac{1}{2}\left( D_\mu W_\nu^+-D_\nu W_\mu^+
\right)
\left(
D^{\dagger\mu}W^{-\nu}-D^{\dagger\nu}W^{-\mu}\right)
-\frac{1}{4}Z_{\mu\nu}Z^{\mu\nu}
-\frac{1}{4}
A_{\mu\nu}A^{\mu\nu}\nonumber\\
&&
+
ig_2(
c_wZ_{\mu\nu}
+
s_wA_{\mu\nu}
)
W^{+\mu}W^{-\nu}
+
\frac{1}{2}g^2_2\left(
W_\mu^-W^{-\mu}W_\nu^+W^{+\nu}

W_\mu^-W^{+\mu}
W_\nu^+W^{-\nu}
\right)\nonumber\\
&&
+
\frac{1}{2}M_Z^2Z_\mu Z^\mu
+
M^2_WW_\mu^+W^{-\mu}
\end{eqnarray}

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