素粒子標準模型:レプトンセクター:レプトンの運動項

レプトンは六種類存在し
\begin{eqnarray}
第一世代&:&電子/電子ニュートリノ\\
第二世代&:&μ粒子/μニュートリノ\\
第三世代&:&τ粒子/τニュートリノ
\end{eqnarray}
の組で世代を構成している。物質場の特徴として、左手系は\(~SU(2~)\)のダブレットを組むのだが、
右手系はシングレットになっている。従って\(~SU(2)~\)ゲージ場からは力を受けない。簡単のために第一世代に話しを限る。拡張は簡単なので
後から行う。

まず電子と電子ニュートリノの左手ワイルスピノルをダブレットに組もう。
\begin{eqnarray}
L\equiv\begin{pmatrix}
\nu_e\\
e_L
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
これとは別に右手の電子ワイルスピノル\(~{e}_R~\)も準備しておこう(二点注意:(1)ここでは説明のために一旦右手型ワイルスピノルに付けているバーを外して、添字\(R\)で右手型を明示しておく。これは文字の煩雑さを避けるための処方である。(2)\~(e_L~\)と\(~e_R~\)でどちらにも\(~e~\)という文字を使っているが、この時点では全く無関係のスピノルであるので注意していただきたい。つまり例えば(右手と左手はエルミート共役で移り変わるが)\(~e^\dagger_L=e_R~\)のようになるようなものではないので注意)。このダブレットは\(~SU(2)~\)変換\(~U~\)の下で

\begin{eqnarray} L\to UL \end{eqnarray}

のように変換される。ここでの注意は上下のワイルスピノルを混ぜているのであって、単一のワイルスピノルの2成分を混ぜているわけではない。

まず運動項を構成すると、ダブレットは\(~SU(2)~\)ゲージ場の力を受けるので以下の共変微分を持つ。なお後で決めるのだが、この段階では左手型レプトンのハイパーチャージは分からないので、以下では\(~Y=\begin{pmatrix} C&0\\0&C \end{pmatrix}~\)としておいた。

\begin{eqnarray} &&\left[\partial_\mu-i\left(
g_2W_\mu^aT^a+g_1B_{\mu}Y
\right)\right]L\\
&=&
\begin{pmatrix}\partial_\mu-\frac{i}{2}g_2W_\mu^3
\frac{i}{2}Cg_1B_\mu
&
-\frac{i}{2}g_{2}(W_\mu^1-iW_\mu^2)\\
-\frac{i}{2}g_2(W_\mu^1+iW_\mu^2)
&\partial_\mu+\frac{i}{2}g_2W_\mu^3
\frac{i}{2}Cg_1B_\mu
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nu_e\\
e_L
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
\partial_\mu
-\frac{i}{2}\left[
(g_2c_w-Cg_1s_w)Z_\mu
+
(g_2s_w+Cg_1c_w)A_\mu
\right]&
-\frac{i}{2}g_{2}(W_\mu^1-iW_\mu^2)\\
-\frac{i}{2}g_2(W_\mu^1+iW_\mu^2)&
\partial_\mu
-\frac{i}{2}\left[
(-g_2c_w-Cg_1s_w)Z_\mu
+
(-g_2s_w+Cg_1c_w)A_\mu
\right]
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nu_e\\
e_L
\end{pmatrix}\nonumber\\
\end{eqnarray}
ここでニュートリノが電荷を持たない事を思い出そう。1-1成分がニュートリノの共変微分に相当するので、ニュートリノが\(~U(1)~\)ゲージ場:\(~A_\mu~\)とカップリングしないように、その前の係数は0でなければならない。これより
\begin{eqnarray}
g_2s_w+Cg_1c_w=0
\Rightarrow
C=-\frac{g_2}{g_1}\tan\theta_w=-1
\end{eqnarray}
また逆に電子は電荷\(~-e~\)を持つので、2-2成分の共変微分を考慮すると
\begin{eqnarray}
-e=\frac{-g_2s_w+Cg_1c_w}{2}
\end{eqnarray}
が成り立つべきで、これを変形することで
\begin{eqnarray}
-e&=&\frac{-g_2s_w+Cg_1c_w}{2}
=-g_2\sin\theta_w=-g_1\cos\theta_w\\
\nonumber\\
\Rightarrow e&=&g_2\sin\theta_w=g_1\cos\theta_w
\end{eqnarray}

という、我々が古来より知っている単位電荷とゲージカップリングとの関係が明らかになった。取り敢えず\(~C=-1~\)であると分かったので、先程の共変微分を変形していく。
\begin{eqnarray}
&&\left[\partial_\mu-i\left(
g_2W_\mu^aT^a-g_1B_{\mu}Y
\right)\right]L\\
&=&
\begin{pmatrix}
\partial_\mu
-\frac{i}{2}\left[
(g_2c_w-Cg_1s_w)Z_\mu
+
(g_2s_w+Cg_1c_w)A_\mu
\right]&
-\frac{i}{2}g_{2}(W_\mu^1-iW_\mu^2)\\
-\frac{i}{2}g_2(W_\mu^1+iW_\mu^2)&
\partial_\mu
-\frac{i}{2}\left[
(-g_2c_w-Cg_1s_w)Z_\mu
+
(-g_2s_w+Cg_1c_w)A_\mu
\right]
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nu_e\\
e_L
\end{pmatrix}\nonumber\\
\\
&=&
\begin{pmatrix}
\partial_\mu
-\frac{i}{2}\left[
(g_2c_w+g_1s_w)Z_\mu
+
(g_2s_w-g_1c_w)A_\mu
\right]&
-\frac{i}{2}g_{2}(W_\mu^1-iW_\mu^2)\\
-\frac{i}{2}g_2(W_\mu^1+iW_\mu^2)&
\partial_\mu
-\frac{i}{2}\left[
(-g_2c_w+g_1s_w)Z_\mu
+
(-g_2s_w-g_1c_w)A_\mu
\right]
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nu_e\\
e_L
\end{pmatrix}\nonumber\\
\\
&=&\begin{pmatrix}
\partial_\mu
-\frac{i}{2}
\sqrt{g_1^2+g_2^2}Z_\mu
&
-\frac{i}{\sqrt{2}}g_{2}W^+_\mu\\
-\frac{i}{\sqrt{2}}g_2W_\mu^-&
\partial_\mu
+\frac{i}{2}
\frac{g^2_2-g_2^1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}Z_\mu
+
ie
A_\mu
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nu_e\\
e_L
\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}
\partial_\mu
-\frac{i}{2}
\sqrt{g_1^2+g_2^2}Z_\mu
&
-\frac{i}{\sqrt{2}}g_{2}W^+_\mu\\
-\frac{i}{\sqrt{2}}g_2W_\mu^-&
\partial_\mu
+\frac{i}{2}
\frac{g^2_2-g_2^1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}Z_\mu
+
ie
A_\mu
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nu_e\\
e_L
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
表式が物凄く汚いが、これ以上綺麗にはならない。最後に右手の電子共変微分も定義しておこう。右手型電子のハイパーチャージを\(~Y=C^\prime~\)として、電荷\(~-e~\)を持つことを要請して\(~C^\prime~\)を決めよう。まず共変微分をいつものように
\begin{eqnarray}
D_\mu {e}R&\equiv& (\partial_\mu-ig_1B_\mu Y){e}R\\
&=& (\partial_\mu-ig_1B_\mu C^\prime){e}R\\
&=& (\partial_\mu+ig_1s_wC^\prime Z_\mu-ig_1c_wC^\prime A_\mu){e}R
\end{eqnarray}

と書いたとする。前述のようにゲージ場\(~A_\mu~\)に対して電荷\(~-1~\)でカップリングすることを要請すると、\(~-ig_1\cos\theta_wC^\prime=ie~\)になるべきで、先程導いた公式\(~g_1\cos\theta_w=e~\)を用いることで右手型電子のハイパーチャージは\(~Y=C^\prime=-1~\)であると言える(このように選ぶことで右手型と左手型で\(~U_{em}(1)~\)チャージは同じになる。弱い相互作用を考えない限り、電磁気力に対してはカイラル対称性が保持されるので、右と左で電荷に差があってはいけない)。従って共変微分は

\begin{eqnarray}
D_\mu e_R
&=&
(\partial_\mu-ig_1YB_\mu){e}_R\\
&=&
(\partial_\mu
-ie\tan\theta_wZ_\mu
+
ieA_\mu){e}_R
\end{eqnarray}
と定まる。

以上で共変微分を書き下せたので、運動項を構成すると
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{kin}=
i\bar{L}_i\bar{\sigma}^\mu (D_\mu L)_i + i{e}_R^\dagger\sigma^\mu (D_\mu {e}_R) \end{eqnarray}

となる。これについてもう少し変形してみよう。まず左手型から顕に式変形してみよう。

\begin{eqnarray}
&&
i\bar{L}_i\bar{\sigma}^\mu (D_\mu L)_i\
\nonumber\\
&=&
i(\bar{\nu}_e,\bar{e}_L) \bar{\sigma}^\mu
\begin{pmatrix}
\partial_\mu-\frac{i}{2}\sqrt{g_1^2+g_2^2}Z_\mu
&
-\frac{i}{\sqrt{2}}g_{2}W^+_\mu\\
-\frac{i}{\sqrt{2}}g_2W_\mu^-
&\partial_\mu+\frac{i}{2}\frac{g^2_2-g_2^1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}Z_\mu
+
ie
A_\mu
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\nu_e\\
e_L
\end{pmatrix}\\
&=&
i\bar{\nu}_e\bar{\sigma}^\mu
\left\{
\left(\partial_\mu-\frac{i}{2}\sqrt{g^2_1+g^2_2}Z_\mu\right)\nu_e-
\frac{i}{\sqrt{2}}g_2W^+_\mu e_L\right\}\\
&&~+i\bar{e}_L\bar{\sigma}^\mu\left\{
\left(\partial_\mu+\frac{i}{2}\frac{g^2_2-g_2^1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}Z_\mu
+
ieA_\mu\right)e_L-
\frac{i}{\sqrt{2}}g_2W^-_\mu\nu_e
\right\}\\
&=&
i\bar{\nu}_e\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\nu_e
+
i\bar{e}_L\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu e_L\nonumber\\
&&
+
\left(
\frac{
\sqrt{g^2_1+g^2_2}}{2}\bar{\nu}_e\bar{\sigma}^\mu\nu_e-
\frac{1}{2}\frac{g^2_2-g^2_1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}
\bar{e}_L\bar{\sigma}^\mu e_L
\right)Z_\mu
+
\left(
-e\times\bar{e}_L\bar{\sigma}^\mu e_L\right)A_\mu\\
&&+
\frac{g_2}{\sqrt{2}}\bar{\nu}_e\bar{\sigma}^\mu e_LW^+_\mu
+
\frac{g_2}{\sqrt{2}}\bar{e}L\bar{\sigma}^\mu \nu_eW^-_\mu
\end{eqnarray}

右手系は既に簡単な形にまとまっているので、これを纏めると以下を得る。
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{lepton-kin}&=&
i\bar{\nu}_e\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu \nu_e
+
i\bar{e}_L\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu e_L
+
i\bar{e}_R\sigma^\mu\partial_\mu e_R
\nonumber\\
&&
+
\left(
\frac{\sqrt{g^2_1+g^2_2}}{2}\bar{\nu}_e\bar{\sigma}^\mu\nu_e-
\frac{1}{2}\frac{g^2_2-g^2_1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}
\bar{e}L\bar{\sigma}^\mu e_L + e\tan\theta_w\bar{e}_R\sigma^\mu e_R \right)Z_\mu\\
&&+
\left(
-e\times\bar{e}_L\bar{\sigma}^\mu e_L -e\times\bar{e}_R\sigma^\mu e_R \right)A_\mu\\
&&
+
\frac{g_2}{\sqrt{2}}\bar{\nu}e\bar{\sigma}^\mu e_LW^+_\mu
+
\frac{g_2}{\sqrt{2}}\bar{e}L\bar{\sigma}^\mu \nu_eW^-_\mu
\end{eqnarray}
ここで気付くか気づかないの境界線だが、
\begin{eqnarray}
\psi_e\equiv\begin{pmatrix}
e_L\\
e_R
\end{pmatrix}
~~
\psi_\nu\equiv\begin{pmatrix}
\nu_e\\
0
\end{pmatrix}=P_L\psi_\nu
\end{eqnarray}
という2つのディラックスピノルを導入すると綺麗にまとめる事ができる。
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{lepton-kin}
&=&
\bar{\psi}_{\nu_e}i\Slash{\partial}P_L\psi_{\nu_e}
+
\bar{\psi}_ei\Slash{\partial}\psi_e\nonumber\\
&&
-e\bar{\psi}_e\gamma^\mu\psi_eA_\mu
+
\frac{g_2}{\sqrt{2}}
\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_eW^+_\mu
+
\frac{g_2}{\sqrt{2}}
\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}W^-_\mu\nonumber\\
&&
+
\left(
\frac{\sqrt{g^2_1+g^2_2}}{2}\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}
-\frac{1}{2}\frac{g^2_2-g^2_1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}
\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e + e\tan\theta_w\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_R\psi_e \right)Z_\mu\nonumber\\
\end{eqnarray}

ここで最後の項をもう少し変形すると

\begin{eqnarray}
&&\left(
\frac{\sqrt{g^2_1+g^2_2}}{2}\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}
-\frac{1}{2}\frac{g^2_2-g^2_1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}
\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
+
e\tan\theta_w\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_R\psi_e
\right)\\
&=&
\frac{\sqrt{g^2_1+g^2_2}}{2}
\left(\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}
-\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
\right)
+
\frac{g^2_1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}}
\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
+
e\tan\theta_w\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_R\psi_e\\
&=&
\frac{\sqrt{g^2_1+g^2_2}}{2}
\left(\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}
-\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
\right)
+
g_1\sin\theta_w
\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
+
e\tan\theta_w\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_R\psi_e\\
&=&
\frac{\sqrt{g^2_1+g^2_2}}{2}
\left(\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}
-\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
\right)
+
e\tan\theta_w
\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
+
e\tan\theta_w\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_R\psi_e\\
&=&
\frac{g_2}{2\cos
\theta_w}
\left(\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}
-\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
\right)
+
e\tan\theta_w
\bar{\psi}_e\gamma^\mu\psi_e\\
&=&
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos
\theta_w}
\left(\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}
-\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e \right) + e\tan\theta_w \bar{\psi}_e\gamma^\mu\psi_e \end{eqnarray}

のように纏まるので、

\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{lepton-kin}
&=&
\bar{\psi}_{\nu_e}i\Slash{\partial}P_L\psi_{\nu_e}
+
\bar{\psi}_{e}i\Slash{\partial}\psi_{e}\nonumber\\
&&
-e\bar{\psi}_e\gamma^\mu\psi_eA_\mu
+
\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}
\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_eW^+_\mu
+
\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}
\bar{\psi}_{e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}W^-_\mu\nonumber\\
&&
+
\left\{
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos
\theta_w}
\left(\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}
-\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e \right) + e\tan\theta_w \bar{\psi}_e\gamma^\mu\psi_e \right\}Z_\mu
\end{eqnarray}

を得る。ここで表式を更に簡略化するために次のカレントを導入する。
\begin{eqnarray}
J^{\mu}_{e,+}&\equiv&\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}\bar{\psi}_{e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}\\
J^{\mu}_{e,-}&\equiv&\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{e}\\
J^\mu_{e,em}&\equiv&-e\bar{\psi}_e\gamma^\mu\psi_e\\
J^\mu_{e,Z}&\equiv&\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}
\left(\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi_{\nu_e}-
\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e
\right)
+
e\tan\theta_w
\bar{\psi}_e\gamma^\mu\psi_e\nonumber\\
&=&
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos
\theta_w}
\left(\bar{\psi}_{\nu_e}\gamma^\mu P_L\psi{\nu_e}
-\bar{\psi}_e\gamma^\mu P_L\psi_e\right)
-\tan\theta_w J^\mu_{e,em}
\end{eqnarray}
このカレントを用いることで以下のレプトンの運動項の最終的な答えを得る。
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{lepton-kin}
&=&
\bar{\psi}_{\nu_e}i\Slash{\partial}P_L\psi_{\nu_e}
+
\bar{\psi}_{e}i\Slash{\partial}\psi_{e}
+
J^\mu_{e,em}A_\mu+J^\mu_{e,Z}Z_\mu
+
J^{\mu}_{e,+}W^-_\mu+J^{\mu}_{e,-}W^+_\mu
\end{eqnarray}

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