素粒子標準模型:クォークセクター:クォークの運動項

クォークも左手系が特殊な組を作る。こちらも本当は三世代あるのだが、一世代やれば十分である。まず左手型アップクォークとダウンクォークは強い相互作用/弱い相互作用/電磁相互作用の3つに反応するので、量子数は以下のようになる。
\begin{eqnarray}
u_L^F&=&\left(3,2,\frac{1}{6}\right)\\
d_L^F&=&\left(3,2,\frac{1}{6}\right)\\
u_R^F&=&\left(3,1,\frac{2}{3}\right)\\
d_R^F&=&\left(3,1,-\frac{1}{3}\right)
\end{eqnarray}
ここで添字(F)は\(SU(3)\)対称性の添字で、カラーを表す添字である。歴史的な流れは置いておいて、アップクォークが電荷\(2/3\)、ダウンクォークが\(-1/3\)であると知っているので、それに合うようにハイパーチャージを選んだ。レプトンと並行に議論を進めたいので、左手型のアップ/ダウンクォークも以下のように\(SU(2)\)ダブレットに組もう。
\begin{eqnarray}
Q^F\equiv\begin{pmatrix}
u^F_{L}\\
d^F_{L}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
具体的には
\begin{eqnarray}
u^F_L=\begin{pmatrix}
u_L^R\\
u_L^G\\
u_L^B
\end{pmatrix}
~~~~
d_L^F
=\begin{pmatrix}
d_L^R\\
d_L^G\\
d_L^B
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
のようにRGBの3つのカラーがある。さて、このQに対する共変微分を書き下そう。
\begin{eqnarray}
(D_\mu Q)_i^F
&\equiv&
\partial_\mu Q_{i}^F
-ig_3
G_\mu^a(T^a_3)^F_{~~F^\prime}Q^{F^\prime}_{i}
-ig_2
W_\mu^a(T^a_2)_{ij}Q^F{j}
-ig_1Y_{ij}B_\mu Q^F_{j}\\
&=&
(\nabla^3_\mu Q)^F_i-
-ig_2
W_\mu^a(T^a_2)_{ij}Q^F{j}
-ig_1Y_{ij}B_\mu Q^F_{j}
\end{eqnarray}
ここで記法の簡略のために\(SU(3)\)に対する共変微分を導入した\footnote{記法の簡略のためと言うか、今\(SU(3)\)にはあまり興味が無いので纏めてしまった。}。さて\(SU(2)\times U(1)\)の項に注目すると、公式\(e=g_2\sin\theta_w=g_1\cos\theta_w\)を用いて

\begin{eqnarray}
&&\left(-ig_2W_\mu^aT^a_2-ig_1YB_\mu\right)Q^F\\
&=&
\begin{pmatrix}
-\frac{ig_2}{2}W_\mu^3-\frac{ig_1}{6}B_\mu&-\frac{ig_2}{2}(W^1_\mu-iW^2_\mu)\\
-\frac{ig_2}{2}(W^1_\mu+iW^2_\mu)&
\frac{ig_2}{2}W_\mu^3-\frac{ig_1}{6}B_\mu
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u^F_{L}\\
d^F_{L}
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}
-\frac{ig_2}{2}(c_wZ_\mu+s_wA_\mu)-\frac{ig_1}{6}(-s_wZ_\mu+c_wA_\mu)&-\frac{ig_2}{\sqrt{2}}W^+_\mu\\
-\frac{ig_2}{\sqrt{2}}W^-_\mu&
\frac{ig_2}{2}(c_wZ_\mu+s_wA_\mu)-\frac{ig_1}{6}(-s_wZ_\mu+c_wA_\mu)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u^F_{L}\\
d^F_{L}
\end{pmatrix}\nonumber\\
\\
&=&
\begin{pmatrix}
\left(
-\frac{ig_2}{2}c_w+\frac{ig_1}{6}s_w
\right)Z_\mu
+
\left(
-\frac{ig_2}{2}s_w-\frac{ig_1}{6}c_w
\right)A_\mu
&-\frac{ig_2}{\sqrt{2}}W^+_\mu\\
-\frac{ig_2}{\sqrt{2}}W^-_\mu&
\left(
\frac{ig_2}{2}c_w+\frac{ig_1}{6}s_w
\right)Z_\mu
+
\left(
\frac{ig_2}{2}s_w-\frac{ig_1}{6}c_w
\right)A_\mu
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u^F_{L}\\
d^F_{L}
\end{pmatrix}\nonumber\\
\\
&=&
\begin{pmatrix}
\left(
-\frac{ig_2}{2}c_w+\frac{ig_1}{6}s_w
\right)Z_\mu
-i\left(\frac{2}{3}e\right)A_\mu
&-\frac{ig_2}{\sqrt{2}}W^+_\mu\\
-\frac{ig_2}{\sqrt{2}}W^-_\mu&
\left(
\frac{ig_2}{2}c_w+\frac{ig_1}{6}s_w
\right)Z_\mu
-i\left(-\frac{1}{3}e\right)A_\mu
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u^F_{L}\\
d^F_{L}
\end{pmatrix}\nonumber\\
\end{eqnarray}

となり、そうなるように仕向けたのだが、アップクォークは電荷$2e/3$を、ダウンクォークは電荷$-e/3$を持つことが分かる。

右手型クォークに関する共変微分も、いつもの様に量子数に従って以下となる。
\begin{eqnarray}
(D_\mu u_R)^F
&\equiv&
\partial_\mu u_R^F
-ig_3
G_\mu^a(T^{a}3)^F_{~~F^\prime}u_R^{F^\prime}
-ig_1YB_\mu u_R^F\\
&=&
(\nabla^3_\mu u_R)^F
-ig_1YB_\mu u_R^F\\
&=&
(\nabla^3_\mu u_R)^F
-\frac{2ie}{3} A_\mu u_R^F
+
\frac{2ig_1}{3}\sin\theta_w Z_\mu u_R^F\nonumber\\
\\
(D_\mu d_R)^F
&\equiv&
\partial_\mu d_R^F
-ig_3
G_\mu^a(T^{a}3)^F_{~~F^\prime}d_R^{F^\prime}
-ig_1YB_\mu d_R^F\\
&=&
(\nabla_\mu^3 d_R)^F
-ig_1YB_\mu d^F_R\\
&=&(\nabla^3_\mu d_R)^F
+
\frac{ie}{3} A_\mu d_R^F

\frac{ig_1}{3}\sin\theta_w Z_\mu d_R^F
\end{eqnarray}
よって、クォークの運動項は
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark-kin}=
i\bar{Q}^F_i\bar{\sigma}^\mu (D_\mu Q)^F_i
+
i\bar{u}_R^F\sigma^\mu (D_\mu u_R)^F
+
i\bar{d}_R^F\sigma^\mu (D_\mu d_R)^F
\end{eqnarray}
となり、SSB後の場で書けば以下を得る。
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark-kin}
&=&
i\bar{u}_L^F\bar{\sigma}^\mu(\nabla_\mu^3 u_L)^F
+
i\bar{d}_L^F\bar{\sigma}^\mu(\nabla_\mu^3 d_L)^F
+
i\bar{u}_R^F\sigma^\mu(\nabla_\mu^3 u_R)^F
+
i\bar{d}_R^F\sigma^\mu(\nabla_\mu^3 d_R)^F\nonumber\\
&&
+\left[
\frac{2e}{3}\bar{u}^F_L\bar{\sigma}^\mu u_L^F

\frac{e}{3}\bar{d}^F_L\bar{\sigma}^\mu d_L^F
+
\frac{2e}{3}\bar{u}_R^F\sigma^\mu u^F_R

\frac{e}{3}\bar{d}_R^F\sigma^\mu d^F_R \right] A_\mu\nonumber\\
&&
+
\left[
\left(\frac{g_2}{2}\cos\theta_w-\frac{g_1}{6}\sin\theta_w\right)
\bar{u}^F_L
\bar{\sigma}^\mu u_L^F
+
\left(-\frac{g_2}{2}\cos\theta_w-\frac{g_1}{6}\sin\theta_w\right)
\bar{d}^F_L
\bar{\sigma}^\mu d_L^F\right.\nonumber\\
&&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left.
-\frac{2g_1\sin\theta_w}{3}\bar{u}_R^F\sigma^\mu u_R^F + \frac{g_1\sin\theta_w}{3}\bar{d}^F_R\sigma^\mu d^F_R \right]Z_\mu\nonumber\\
&&
+\frac{g_2}{\sqrt{2}}\bar{u}_L^F\bar{\sigma}^\mu d_L^FW^+_\mu
+\frac{g_2}{\sqrt{2}}\bar{d}_L^F\bar{\sigma}^\mu u_L^FW^-_\mu\\
&=&
i\bar{u}_L^F\bar{\sigma}^\mu(\nabla_\mu^3 u_L)^F
+
i\bar{d}_L^F\bar{\sigma}^\mu(\nabla_\mu^3 d_L)^F
+
i\bar{u}_R^F\sigma^\mu(\nabla_\mu^3 u_R)^F
+
i\bar{d}_R^F\sigma^\mu(\nabla_\mu^3 d_R)^F\nonumber\\
&&
+\left[
\frac{2e}{3}\bar{u}^F_L\bar{\sigma}^\mu u_L^F

\frac{e}{3}\bar{d}^F_L\bar{\sigma}^\mu d_L^F
+
\frac{2e}{3}\bar{u}_R^F\sigma^\mu u^F_R

\frac{e}{3}\bar{d}_R^F\sigma^\mu d^F_R \right] A_\mu\nonumber\\
&&
+
\left[
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}
\bar{u}^F_L
\bar{\sigma}^\mu u_L^F

\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}
\bar{d}^F_L
\bar{\sigma}^\mu d_L^F\right.\nonumber\\
&&~~~~~~~~~\left.
-\frac{2e\tan\theta_w}{3}\left(\bar{u}_L^F\bar{\sigma}^\mu u_L^F
+\bar{u}_R^F\sigma^\mu u_R^F\right) + \frac{e\tan\theta_w}{3}\left(\bar{d}_L^F\bar{\sigma}^\mu d_L^F+\bar{d}^F_R\sigma^\mu d^F_R\right) \right]Z_\mu\nonumber\\
&&
+\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}\bar{u}_L^F\bar{\sigma}^\mu d_L^FW^+_\mu
+\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}\bar{d}_L^F\bar{\sigma}^\mu u_L^FW^-_\mu
\end{eqnarray}

この式を再びディラックスピノルで書くために、以下の2つのディラックスピノル

\begin{eqnarray}
\psi^F_u&=&\begin{pmatrix}
u^F_L\\
u^F_R
\end{pmatrix}~~,~~
\psi_d^F=\begin{pmatrix}
d^F_L\\
d^F_R
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}


を導入すると
\begin{eqnarray}
\lagrangian_{quark-kin}
&=&
\bar{\psi}^F_u(i\Slash{\nabla}\psi_u)^F
+
\bar{\psi}^F_d(i\Slash{\nabla}\psi_d)^F\nonumber\\
&&
+
\left[
\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_u\gamma^\mu\psi_u^F

\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_d\gamma^\mu\psi_d^F
\right]A_\mu
+\frac{g_2}{\sqrt{2}}
\bar{\psi}_u^F\gamma^\mu P_L\psi_d^F W^+_\mu
+
\frac{g_2}{\sqrt{2}}
\bar{\psi}_d^F\gamma^\mu P_L\psi_u^F W^-_\mu\nonumber\\
&&
+\left[
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}\left(
\bar{\psi}^F_u\gamma^\mu P_L\psi^F_u

\bar{\psi}^F_d\gamma^\mu P_L\psi^F_d
\right)
-\frac{2e\tan\theta_w}{3}
\bar{\psi}^F_u\gamma^\mu{\psi}^F_u
+\frac{e\tan\theta_w}{3}
\bar{\psi}^F_d\gamma^\mu{\psi}^F_d
\right]Z_\mu\nonumber\\
\end{eqnarray}
のように纏める事ができる。ここで更に以下のカレントを導入する。
\begin{eqnarray}
J^{\mu}_{q,+}&\equiv&\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w} \bar{\psi}_d^F\gamma^\mu P_L\psi_u^F\\ J^{\mu}_{q,-}&\equiv&\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}
\bar{\psi}u^F\gamma^\mu P_L\psi_d^F\\
J_{q,em}^\mu&\equiv&
\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_u\gamma^\mu\psi_u^F-
\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_d\gamma^\mu\psi_d^F\\
J_{q,Z}^\mu&\equiv&\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}\left(
\bar{\psi}^F_u\gamma^\mu P_L\psi^F_u

\bar{\psi}^F_d\gamma^\mu P_L\psi^F_d
\right)-\tan\theta_w\left(\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_u\gamma^\mu\psi_u^F-
\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_d\gamma^\mu\psi_d^F\right)\nonumber\\
&=&
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}\left(
\bar{\psi}^F_u\gamma^\mu P_L\psi^F_u

\bar{\psi}^F_d\gamma^\mu P_L\psi^F_d
\right)-\tan\theta_w J^\mu_{em}
\end{eqnarray}
このカレントを用いることでクォークの運動項に対する最終的な表式を得る。
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark-kin}
&=&
\bar{\psi}^F_u(i\Slash{\nabla}\psi_u)^F
+
\bar{\psi}^F_d(i\Slash{\nabla}\psi_d)^F
+
J_{q,em}^\mu A_\mu+J_{q,Z}^\mu Z_\mu
+
J^{\mu}_{q,+}W^-_\mu+J_{q,-}^{\mu}W^+_\mu
\nonumber\
\end{eqnarray}

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