素粒子標準模型:クォークセクター:クォークの世代間混合と小林・益川行列

クォークも第3世代まで含むように容易に拡張できる。その仕方はレプトンを全く同じで、添字\(~I~\)を世代を表す添字として、
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark}
&=&
\sum_{I=1,2,3}
\left[
i\bar{Q}^F_{I_i}\bar{\sigma}^\mu (D_\mu Q_I)^F_{i}
+
i\bar{u}_{I_R}^F\sigma^\mu (D_\mu u_{I_R})^F
+
i\bar{d}_{I_R}^F\sigma^\mu (D_\mu d_{I_R})^F
\right]\nonumber\\
&&~~~~-\sum_{I,J=1,2,3}
\left(
y^u_{IJ}\bar{Q}^F_{I_i}H^c_iu^F_{J_R}
+
y^d_{IJ}\bar{Q}^F_{I_i}H_id^F_{J_R}
+h.c\right)
\end{eqnarray}
とすればいい。ここでレプトンの時のようにクォークの湯川カップリングを対角形\(~+~\)実数に持っていこう。まずユニタリ変換
\begin{eqnarray}
Q_{I_1}^F&\to&U^1_{IJ}Q^F_{J_1}\\
Q_{I_2}^F&\to&U^2_{IJ}Q^F_{J_2}\\
u_{I_R}^F&\to&V_{IJ}u_{J_R}^F\\
d_{I_R}^F&\to&W_{IJ}d_{J_R}^F
\end{eqnarray}
の下で、運動項の項は\(~W^{\pm}~\)の含まれる項を除いて不変である(\(~W^\pm~\)の後に関しては後述)。一方で質量項の方を見てみると、まずSSBの後にこの項は
\begin{eqnarray}
\left(
y^u_{IJ}\bar{Q}^F_{I_i}H^c_iu^F_{J_R}
+
y^d_{IJ}\bar{Q}^F_{I_i}H_id^F_{J_R}\right)
\xrightarrow{SSB}
\left(y^u_{IJ}\left(\frac{v+h}{\sqrt{2}}\right)\bar{u}_{I_L}^Fu^F_{J_R}
+
y^d_{IJ}\left(\frac{v+h}{\sqrt{2}}\right)\bar{d}_{I_L}^Fd^F_{J_R}\right)
\end{eqnarray}
となるので、質量に相当する係数\(~y_{IJ}~\)は上記の変換で
\begin{eqnarray}
y^u_{IJ}&\to&(U^{1\dagger} y^u V)_{IJ}\\
y^d_{IJ}&\to&(U^{2\dagger} y^d W)_{IJ}
\end{eqnarray}
のように変換される。我々は線形代数の知識から\(~U^1,U^2,V,W~\)を適当に選ぶことにより、係数を対角形かつ正の実数に持っていける。これはつまりクォーク場を質量固有状態に一致させたことを意味する。\(~U^1,U^2,V,W~\)をこのように選んだ時、先程後述すると言った\(~W^{\pm}~\)を含む項はどうなるだろうか。先程共変微分を計算した時に見たように、ユニタリ変換する前の一般的なクォーク&\(~W^\pm~\)の項は
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark-W^\pm}&=&\sum_{I=1,2,3}\left(\frac{g_2}{\sqrt{2}}\bar{u}_{I_L}^F\bar{\sigma}^\mu d^F_{I_L}W^+_\mu
+
\frac{g_2}{\sqrt{2}}\bar{d}_{I_L}^F\bar{\sigma}^\mu u^F_{I_L}W^-_\mu\right)\nonumber\\
&=&
\sum_{I=1,2,3}\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left(\bar{u}_{I_L}^F\bar{\sigma}^\mu d^F_{I_L}W^+_\mu
+
\bar{d}_{I_L}^F\bar{\sigma}^\mu u^F_{I_L}W^-_\mu \right)
\end{eqnarray}
となるので、先程のユニタリ変換で
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark-W^\pm}
&=&
\sum_{I=1,2,3}\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left(\bar{u}_{I_L}^F\bar{\sigma}^\mu d^F_{I_L}W^+_\mu
+
\bar{d}_{I_L}^F\bar{\sigma}^\mu u^F_{I_L}W^-_\mu \right)\\
&\to&
\frac{g_2}{\sqrt{2}}\left[
(U^{1\dagger}U^2)_{IJ}\bar{u}_{I_L}^F\bar{\sigma}^\mu d^F_{J_L}W^+_\mu
+
(U^{2\dagger}U^1)_{IJ}\bar{d}_{I_L}^F\bar{\sigma}^\mu u^F_{J_L}W^-_\mu \right]
\end{eqnarray}
となる。ここで\(~U\equiv U^{1\dagger}U^2~\)を定義しよう。この\(~U~\)が対角形になっていれば、質量固有状態はツリーレベルで混じらないことになる。しかしながら、一般的にはこれは対角形になりえない。それは\(~U^1,U^2~\)は\(~y^{u}_{IJ},y^{d}_{IJ}~\)を対角形にするために選ばれた行列であり、それらの積が都合よく対角形になっていることは偶然以外では起こりえない。事実、実験から\(~U~\)は対角形になっていないことが示されている。この行列\(~U~\)は実験的にも重要な量であり、CKM行列や小林・益川行列と呼ばれている。さて、行列\(~U~\)の自由度はいくらだろうか。まず注意したいのは、小林・益川行列の位相は\(~Q^F_{I_i}~\)の位相の再定義で幾つか吸収することが出来る(\(~Q^F_{IL}~\)の位相を任意に回した時、\(~W^{\pm}~\)以外の項は他のクォーク場も同時に位相変換することで打ち消すことが出来、不変になる)。つまり
\begin{eqnarray}
U_{IJ}\to e^{-i\theta^u_I}U_{IJ}e^{i\theta^d_J}~~~(I,Jに関して和は取っていない)\tag{1}
\end{eqnarray}
とするだけの自由度がある。そして小林・益川行列はユニタリ行列なので、実で数えて\(~3^2=9~\)だけの自由度が残っている。

\(~n\times n~\)行列で考えてみよう。まず\(~U^\dagger U=1~\)の対角成分は\(~\sum_{j}U^\ast_{ij}U_{ij}=1~\)という式なので、\(~n~\)本の拘束条件になっている。一方非対角成分は(\(~U^\dagger U~\)がエルミート行列なので)実で数えて\(~n^2-n~\)の自由度を持つ。これは上三角成分が\(~\frac{1}{2}(n^2-n)~\)個あり、それが複素で2成分持っているから、実で数えて\(~n^2-n~\)になる。結局\(~n+(n^2-n)~\)個の拘束条件が立つので、ユニタリ行列の自由度は\(~n^2~\)になる。

この自由度のうち、先の位相吸収により5つ除去出来るので、\(~9-5=4~\)が小林・益川行列の残った自由度になる。ここで「引く6」でない理由は単純で、先程の位相変換(1)式は行列形式で
\begin{eqnarray}
U\to
\begin{pmatrix}
e^{-i\theta^u_1}&0&\\
0&e^{-i\theta^u_2}&0\\
0&0&e^{-i\theta^u_3}
\end{pmatrix}
U
\begin{pmatrix}
e^{i\theta^d_1}&0&\\
0&e^{i\theta^d_2}&0\\
0&0&e^{i\theta^d_3}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
と書けるが、\(~U~\)全体に掛かる位相は意味をなさない。すると6つあるパラメーターのうち1つをこの全体の位相でキャンセル出来るので、結局のところ使える位相吸収の自由度は5つしかないことになる。よって\(~9-5=4~\)が成り立つ。
\par 因みに実ユニタリは直交行列であり、その自由度は\(~3\times3~\)行列の時3になる。小林・益川行列は4自由度のユニタリ行列であるが、直交行列が3自由度なので、小林・益川行列の自由度のうち1つが複素位相を与えるパラメーターであり、残り3つが回転に相当するパラメーターであると考える事ができる。この考えのもとで小林・益川行列の有名なパラメーター付は幾つかバリエーションがあるが、以下の
\begin{eqnarray}
U
&=&
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&\cos\theta_{23}&\sin\theta_{23}\\
0&-\sin\theta_{23}&\cos\theta_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta_{13}&0&\sin\theta_{13}e^{-i\delta}\\
0&1&0\\
-\sin\theta_{13}e^{i\delta}&0&\cos\theta_{13}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta_{12}&\sin\theta_{12}&0\\
-\sin\theta_{12}&\cos\theta_{12}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}\\
&=&
\begin{pmatrix}
\cos\theta_{12}\cos\theta_{13}
&
\sin\theta_{12}\cos\theta_{13}
&
\sin\theta_{13}e^{-i\delta}\\
-\sin\theta_{12}\cos\theta_{23}
-\cos\theta_{12}\sin\theta_{23}\sin\theta_{13}e^{i\delta}
&
\cos\theta_{12}\cos\theta_{23}-\sin\theta_{12}\sin\theta_{23}\sin\theta_{13}e^{i\delta}
&
\sin\theta_{23}\cos\theta_{13}\\
\sin\theta_{12}\sin\theta_{23}
-\cos\theta_{12}\cos\theta_{23}\sin\theta_{13}e^{i\delta}
&
-\cos\theta_{12}\sin\theta_{23}-\sin\theta_{12}\cos\theta_{23}\sin\theta_{13}e^{i\delta}
&
\cos\theta_{23}\cos\theta_{13}
\end{pmatrix}\nonumber\\
\end{eqnarray}
は1つの例である。

以上の話で何が言いたかったかと言うと、結局のところクォークの場合には一般に質量固有状態とフレーバー固有状態が一致せず、世代間混合が起きることが分かった。また複素位相が小林・益川行列に含まれていたが、これは\(~CP~\)対称性の破れの存在を意味する。

\(~CP~\)対称性の破れを示すには、\(~CPT~\)対称性がローレンツ不変性から保証されているので\(~T~\)不変性の破れの存在を言えばいいが、時間反転の演算子は複素共役を伴うので、ラグランジアンの係数が実数で出来ていない限り\(T\)不変性は破れる。そして今の場合複素位相が入ってしまっているので、この\(~T~\)不変性が破れ、詰まる所\(~CP~\)対称性が破れる。

さて、質量固有状態になるようにユニタリ変換されたSSB後のクォークセクターのラグランジアンを小林・益川行列などを用いて書き直そう。
ユニタリ変換する前のラグランジアンが
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark}
&=&
\sum_{I=1,2,3}
\left[
i\bar{Q}^F_{I_i}\bar{\sigma}^\mu (D_\mu Q_I)^F_{i}
+
i\bar{u}_{I_R}^F\sigma^\mu (D_\mu u_{I_R})^F
+
i\bar{d}_{I_R}^F\sigma^\mu (D_\mu d_{I_R})^F
\right]\nonumber\\
&&~~~~-\sum_{I,J=1,2,3}
\left(
y^u_{IJ}\bar{Q}^F_{I_i}H^c_iu^F_{J_R}
+
y^d_{IJ}\bar{Q}^F_{I_i}H_id^F_{J_R}
+h.c\right)
\end{eqnarray}
であったから、質量項が対角形になるように先のユニタリ行列を選んでやれば、まず質量項の方は
\begin{eqnarray}
&&-\sum_{I,J=1,2,3}
\left(
y^u_{IJ}\bar{Q}^F_{I_i}H^c_iu^F_{J_R}
+
y^d_{IJ}\bar{Q}^F_{I_i}H_id^F_{J_R}
+h.c\right)\\
\xrightarrow{ユニタリ変換}&=&-\sum_{I=1,2,3}
\left(
y^u_{I}\bar{Q}^F_{I_i}H^c_iu^F_{I_R}
+
y^d_{I}\bar{Q}^F_{I_i}H_id^F_{I_R}
+h.c\right)\\
&=&
-\sum_{I=1,2,3}
\left[y^u_{I}\left(
\bar{Q}^F_{I_i}H^c_iu^F_{I_R}
+h.c\right)
+
y^d_{I}\left(
\bar{Q}^F_{I_i}H_id^F_{I_R}
+h.c\right)
\right]\\
\xrightarrow{SSB}&=&
-\sum_{I=1,2,3}\left[
\frac{y^u_I}{\sqrt{2}}(v+h)(\bar{u}^F_{I_L}u^F_{I_R}+h.c)
+
\frac{y^d_I}{\sqrt{2}}(v+h)(\bar{d}^F_{I_L}d^F_{I_R}+h.c)
\right]
\\
&=&-\sum_{I=1,2,3}\left[
m_{u_I}\bar{\psi}^F_{u_I}\psi^F_{u_I}
+
\frac{m_{u_I}}{v}h\bar{\psi}^F_{u_I}\psi^F_{u_I}
+
m_{d_I}\bar{\psi}^F_{d_I}\psi^F_{d_I}
+
\frac{m_{d_I}}{v}h\bar{\psi}^F_{d_I}\psi^F_{d_I}
\right]
\end{eqnarray}
となる。ここでも再びディラックスピノル
\begin{eqnarray}
\psi^F_{u_I}\equiv\begin{pmatrix}
u^F_{I_L}\\
\\
u^F_{I_R}
\end{pmatrix}
~~~,~~~
\psi^F_{d_I}\equiv\begin{pmatrix}
d^F_{I_L}\\
\\
d^F_{I_R}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
を導入し、また質量\(~m_{u_I}\equiv\frac{y^{u}_I}{\sqrt{2}}v~\)等も同様に定義した。さて運動項の方もSSBとユニタリ変換を施すと上述の計算などから次のようになる。

\(~W^{\pm}~\)を含む項だけがユニタリ変換の影響を受けたことを思い出そう。つまりそれ以外の項には以前の結果が(世代の添字を入れるだけで)そのまま使える。

\begin{eqnarray}
&&\sum_{I=1,2,3}
\left[
i\bar{Q}^F_{I_i}\bar{\sigma}^\mu (D_\mu Q_I)^F_{i}
+
i\bar{u}_{I_R}^F\sigma^\mu (D_\mu u_{I_R})^F
+
i\bar{d}_{I_R}^F\sigma^\mu (D_\mu d_{I_R})^F
\right]\\
\nonumber\\
&\Downarrow&SSB&ユニタリ変換\nonumber\\
\nonumber\\
&=&
\sum_{I=1,2,3}\left[
\frac{}{}
\bar{\psi}^F_{u_I}(i\Slash{\nabla}\psi_{u_I})^F
+
\bar{\psi}^F_{d_I}(i\Slash{\nabla}\psi_{d_I})^F\right.\nonumber\\
&&~~~~~~~~~~
+
\left(
\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu\psi_{u_I}^F

\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu\psi_{d_I}^F
\right)A_\mu
+\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}\left[
(U)_{IJ}\bar{u}_{I L}^F\bar{\sigma}^\mu d^F_{JL}W^+_\mu
+
(U^\dagger)_{IJ}\bar{d}_{IL}^F\bar{\sigma}^\mu u^F_{JL}W^-_\mu \right]
\nonumber\\
&&~~~~~~~~~~
+\left\{
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}\left(
\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{u_I}

\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{d_I}
\right)
-\frac{2e\tan\theta_w}{3}
\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu{\psi}^F_{u_I}
+\frac{e\tan\theta_w}{3}
\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu{\psi}^F_{d_I}
\right\}Z_\mu\nonumber\\
\\
&=&
\sum_{I=1,2,3}\left[
\frac{}{}
\bar{\psi}^F_{u_I}(i\Slash{\nabla}\psi_{u_I})^F
+
\bar{\psi}^F_{d_I}(i\Slash{\nabla}\psi_{d_I})^F\right.\nonumber\\
&&~~~~~~~~~~
+
\left(
\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu\psi_{u_I}^F

\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu\psi_{d_I}^F
\right)A_\mu
+\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}\left[
U_{IJ}\bar{\psi}_{u_I}^F\gamma^\mu P_L\psi^F_{d_J}W^+_\mu
+
U^\dagger_{IJ}\bar{\psi}_{d_I}^F\gamma^\mu P_L\psi^F_{u_J}W^-_\mu \right]
\nonumber\\
&&~~~~~~~~~~
+\left\{
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}\left(
\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{u_I}

\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{d_I}
\right)
-\frac{2e\tan\theta_w}{3}
\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu{\psi}^F_{u_I}
+\frac{e\tan\theta_w}{3}
\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu{\psi}^F_{d_I}
\right\}Z_\mu\nonumber\\
\end{eqnarray}
小林・益川理論の説明で話が大分逸れたが、ユニタリ変換を適当に施すことで、SSB後のクォークのラグランジアンは以下の形に取ることが出来る。
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark}
&=&
\sum_{I,J=1,2,3}\left[
\frac{}{}
\bar{\psi}^F_{u_I}((i\Slash{\nabla}-m_{u_I})\psi_{u_I})^F
+
\bar{\psi}^F_{d_I}((i\Slash{\nabla}-m_{d_I})\psi_{d_I})^F

\frac{m_{u_I}}{v}h\bar{\psi}^F_{u_I}\psi^F_{u_I}

\frac{m_{d_I}}{v}h\bar{\psi}^F_{d_I}\psi^F_{d_I}
\right.\nonumber\\
&&~~~~~~~~~~~
+
\left(
\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu\psi_{u_I}^F

\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu\psi_{d_I}^F
\right)A_\mu
+\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}\left[
U_{IJ}\bar{\psi}_{u_I}^F\gamma^\mu P_L\psi^F_{d_J}W^+_\mu
+
U^\dagger_{IJ}\bar{\psi}_{d_I}^F\gamma^\mu P_L\psi^F_{u_J}W^-_\mu \right]
\nonumber\\
&&~~~~~~~~~~~
+\left\{
\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}\left(
\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{u_I}

\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{d_I}
\right)
-\tan\theta_w\left(\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu\psi_{u_I}^F-
\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu\psi_{d_I}^F\right)
\right\}Z_\mu\nonumber\\
\end{eqnarray}
ここで再びカレント
\begin{eqnarray}
J^{\mu}_{q,+}&\equiv&\sum_{I,J=1,2,3}\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}
U_{IJ}\bar{\psi}_{d_I}^F\gamma^\mu P_L\psi_{u_J}^F\\
J^{\mu}_{q,-}&\equiv&\sum_{I,J=1,2,3}\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_w}U^\dagger_{IJ}
\bar{\psi}_{u_I}^F\gamma^\mu P_L\psi_{d_J}^F\\
J_{q,em}^\mu&\equiv&
\sum_{I=1,2,3}\left(\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu\psi_{u_I}^F-
\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu\psi_{d_I}^F\right)\\
J_{q,Z}^\mu&\equiv&
\sum_{I=1,2,3}\left[\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}\left(
\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{u_I}

\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{d_I}
\right)-\tan\theta_w\left(\frac{2e}{3}\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu\psi_{u_I}^F-
\frac{e}{3}\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu\psi_{d_I}^F\right)\right]\nonumber\\
&=&
\sum_{I=1,2,3}\left[\frac{e}{2\sin\theta_w\cos\theta_w}\left(
\bar{\psi}^F_{u_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{u_I}

\bar{\psi}^F_{d_I}\gamma^\mu P_L\psi^F_{d_I}
\right)-\tan\theta_w J^\mu_{em}\right]
\end{eqnarray}
を導入することで
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}_{quark}
&=&
\sum_{I,J=1,2,3}\left[
\frac{}{}
\bar{\psi}^F_{u_I}((i\Slash{\nabla}-m_{u_I})\psi_{u_I})^F
+
\bar{\psi}^F_{d_I}((i\Slash{\nabla}-m_{d_I})\psi_{d_I})^F

\frac{m_{u_I}}{v}h\bar{\psi}^F_{u_I}\psi^F_{u_I}

\frac{m_{d_I}}{v}h\bar{\psi}^F_{d_I}\psi^F_{d_I}
\right.\nonumber\\
&&\left.~~~~~~~~~~~
+J^\mu_{q,em}A_\mu+J^\mu_{q,Z}Z_\mu
+J^{\mu}_{q,+}W^-_\mu+J^{\mu}_{q,-}W^+_\mu
\right]
\end{eqnarray}
と纏めることが出来る。

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