素粒子標準模型:おまけ:折りたたまれている項の展開

ここでほとんどの項はこのまま解析出来るが、\(~\left(
D_\mu W_\nu^+-D_\nu W_\mu^+
\right)
\left(
D^{\dagger\mu}W^{-\nu}-D^{\dagger\nu}W^{-\mu}
\right)~\)に関しては、多くの項が折り畳まれているので分解しておく。
\begin{eqnarray}
D_\mu W^+_\nu-D_\nu W^+_\mu
=
\partial_\mu W^+_\nu-\partial_\nu W^+_\mu
-ie\cot\theta_w(Z_\mu W^+_\nu-Z_\nu W^+_\mu)
-ie(A_\mu W^+_\nu-A_\nu W^+_\mu)
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
&&\left(
D_\mu W_\nu^+-D_\nu W_\mu^+
\right)
\left(
D^{\dagger\mu}W^{-\nu}-D^{\dagger\nu}W^{-\mu}
\right)\\
&=&
(\partial_\mu W^+_\nu-\partial_\nu W^+_\mu)
(\partial^\mu W^{-\nu}-\partial^\nu W^{-\mu})\nonumber\\
&&+e^2\cot^2\theta_w(Z_\mu W^+_\nu-Z_\nu W^+_\mu)(Z^\mu W^{-\nu}-Z^\nu W^{-\mu})
+
e^2(A_\mu W^+_\nu-A_\nu W^+_\mu)(A^\mu W^{-\nu}-A^\nu W^{-\mu})\nonumber\\
&&
+e^2\cot\theta_w(A_\mu W^+_\nu-A_\nu W^+_\mu)(Z^\mu W^{-\nu}-Z^\nu W^{-\mu})
+
e^2\cot\theta_w
(Z_\mu W^+_\nu-Z_\nu W^+_\mu)(A^\mu W^{-\nu}-A^\nu W^{-\mu})\nonumber\\
&&
+
ie(\partial_\mu W^+_\nu-\partial_\nu W^+_\mu)
((\cot\theta_w Z^\mu+A^\mu)W^{-\nu}-(\cot\theta_w Z^\nu+A^\nu)W^{-\mu})\nonumber\\
&&-
ie(\partial_\mu W^-_\nu-\partial_\nu W^-_\mu)
((\cot\theta_w Z^\mu+A^\mu)W^{+\nu}-(\cot\theta_w Z^\nu+A^\nu)W^{+\mu})\\
\nonumber\\
&=&
(\partial_\mu W^+_\nu-\partial_\nu W^+_\mu)
(\partial^\mu W^{-\nu}-\partial^\nu W^{-\mu})\nonumber\\
&&+2e^2\cot^2\theta_w
(Z_\mu Z^\mu W^+_\nu W^{-\nu}-Z_\mu W^{+\mu}Z_\nu W^{-\nu})
+
2e^2(A_\mu A^\mu W^+_\nu W^{-\nu}-A_\mu W^{+\mu}A_\nu W^{-\nu})\nonumber\\
&&
+2e^2\cot\theta_w
(A_\mu Z^\mu W_\nu^+ W^{-\nu}-A_\mu W^{-\mu}Z_\nu W^{+\nu}+h.c)
\nonumber\\
&&
+
2ie
(
(\cot\theta_w Z^\mu+A^\mu)W^{-\nu}\partial_\mu W^+_\nu

(\cot\theta_w Z^\mu+A^\mu)W^{-\nu}\partial_\nu W^+_\mu
)+h.c
\end{eqnarray}
以上より、ラグランジアンの中に入っている時の係数を考慮して、以下の結果を得る。
\begin{eqnarray}
&&-\frac{1}{2}\left(
D_\mu W_\nu^+-D_\nu W_\mu^+
\right)
\left(
D^{\dagger\mu}W^{-\nu}-D^{\dagger\nu}W^{-\mu}
\right)\\
&=&
-\frac{1}{2}(\partial_\mu W^+_\nu-\partial_\nu W^+_\mu)
(\partial^\mu W^{-\nu}-\partial^\nu W^{-\mu})\nonumber\\
&&-e^2\cot^2\theta_w
(Z_\mu Z^\mu W^+_\nu W^{-\nu}-Z_\mu W^{+\mu}Z_\nu W^{-\nu})
-e^2(A_\mu A^\mu W^+_\nu W^{-\nu}-A_\mu W^{+\mu}A_\nu W^{-\nu})\nonumber\\
&&
-e^2\cot\theta_w
(A_\mu Z^\mu W_\nu^+ W^{-\nu}-A_\mu W^{-\mu}Z_\nu W^{+\nu}+h.c)
\nonumber\\
&&
-ie
(
(\cot\theta_w Z^\mu+A^\mu)W^{-\nu}\partial_\mu W^+_\nu

(\cot\theta_w Z^\mu+A^\mu)W^{-\nu}\partial_\nu W^+_\mu
)+h.c
\end{eqnarray}

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