JJMO予選2019問4


答え\(\cdots444\)
【分析】
わりと簡単めな場合の数の問題です。やはり、落とせない問題ですね。聞かれているのは$$「素因数分解したときに(2の指数)>(5の指数)なのは?」$$ですから、\(5\)の指数が\(2,1,0\)のときで場合分けしましょう。
(\(5\)の指数が\(3\)以上のときは\(2\)の指数が\(4\)以上となり、値が\(2000\)以上になってしまい、不適です。)

【略解】
(i)\(5\)の指数が\(2\)のとき
\(2^3\times 5^2=200\)の倍数を考え、
\(200,400,600,800\)の\(4\)通り

(ii)\(5\)の指数が\(1\)のとき
\( 2^2\times 5^1=20\)の倍数「\(20,40,60,\cdots\)」のうち、(i)で数えたもの「\(100,200,\cdots\)」(つまり\(100\)の倍数)をのぞき、
$$1000÷20-1000÷100=40通り$$

(iii)\(5\)の指数が\(0\)のとき
\(2^1×5^0=2\)の倍数「\(2,4,6,\cdots\)」のうち、(i)(ii)で数えたもの「\(10,20,\cdots\)」(つまり\(10\)の倍数)をのぞき、
$$ 1000÷2-1000÷10=400通り$$

(i)(ii)(iii)より$$計4+40+400=444通り$$

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