JJMO予選2019問5


答え\(\cdots3\sqrt{5}/5\)
【分析】
3番と同じく初等幾何の問題ですが、3番はパズル的な問題だったのに対して、この5番は「わかる情報を図に書き込んでいく」といったことを繰り返していけば、機械的に解けるタイプの問題です。
時間をかければかけるほど様々なことに気付き、解ける可能性が高まっていく問題ですから、多少、時間をかけてもいいので落としたくない問題となっています。
「平行線は錯角・同位角・同側内角を考える」「内接四角形といえば対角の和が\(180^{\circ}\)」といったわかることをまとめていくと…

【略解】
(気づくべきことその1)
\(AE\parallel BC\)から、錯角・同位角に着目し
$$\angle FEA=\angle EBC\cdots①\\
\angle DEA=\angle ECB\cdots②$$
\( D,F\)は\(AE\)について対称なので
$$\angle FEA=\angle EBC\cdots③$$
①②③より\(\angle EBC=\angle ECB\)
$$ ∴EB=EC=5$$

(気づくべきことその2)
\( ABCD\)は円に内接するので
$$\angle ABC+\angle EDA=180^{\circ}\cdots④$$
\( AE\parallel BC\)から、錯角・同位角に着目し
$$\angle ABC+\angle EAB=180^{\circ}\cdots⑤$$
④⑤より\(\angle EDA=\angle EBA\)となり、
\( D,F\)は\(AE\)について対称なので
\(\angle EDA=\angle EFA\)となることも加味して、
$$\angle EBA=\angle EFA$$

(ここまでくれば…)
\( \angle BEA=\angle AEF\)と「その2」の結果より
$$ \triangle{BEA}\sim\triangle{AEF}$$
あとは、「その1」の結果や
\( D,F\)は\(AE\)について対称なので
\(EF=ED=1\)となることなど、わかる長さを利用して、
$$ 5:AE=AE:1よりAE=\sqrt{5}から、$$
$$ \sqrt{5}:AF=5:3\ より、AF=3\frac{\sqrt{5}}{5}$$

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