34.左,右手型スピノル場

Lorentz 群に対して(2,1)表現で作用する左手型スピノル\(\varphi_a(x)\)(Weyl場とも呼ばれる)について考える.ここで,添字\(a\)は左手型スピノルの添字であり,\(2\times1=2\)個の値を持つ.\((2,1)\)表現で作用するとはローレンツ変換の下で\((2,1)\)表現の行列\(L_a^{\ \ b}(\Lambda)\)を用いて

$$U(\Lambda)^{-1}\varphi_a(x)U(\Lambda)=L_a^{\ \ b}(\Lambda)\varphi_b(\Lambda^{-1}x)\tag{1}$$

と変換するということである.もちろん,群の表現なので

$$L_a^{\ \ b}(\Lambda^{\prime})L_b^{\ \ c}(\Lambda)=L_a^{\ \ c}(\Lambda^{\prime}\Lambda)\tag{2}$$

を満たす.微小変換\(\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu}=\delta^{\mu}_{\ \ \nu}+\delta\omega^{\mu}_{\ \ \nu}\)においては

$$L_a^{\ \ b}(1+\delta\omega)=\delta_a^{\ \ b}+\frac{i}{2}\delta\omega_{\mu\nu}(S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}\tag{3}$$

と書くことができる.ここで\(\omega_{\mu\nu}\)の添字の反対称性より,\((S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}\)は\(\mu\nu\)添字に対して反対称の\(2\times2\)行列である.また,33章で述べたように\(S_L^{\mu\nu}\)は\(M^{\mu\nu}\)と同じ交換関係

$$[S_L^{\mu\nu},S_L^{\rho\sigma}]=i\left( g^{\mu\rho}S_L^{\nu\sigma}-(\mu\leftrightarrow\nu)\right)-(\rho\leftrightarrow\sigma)\tag{4}$$

を満たす.また,

$$U(1+\delta\omega)=I+\frac{i}{2}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\tag{5}$$

を使うことで(1)式より,

$$[\varphi_a(x),M^{\mu\nu}]={\mathcal{L}}^{\mu\nu}\varphi_a(x)+(S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}\varphi_b(x)\tag{6}$$

を導くことができる.ここで,\({\mathcal{L}}^{\mu\nu}=\frac{1}{i}(x^{\mu}\partial^{\nu}-x^{\nu}\partial^{\mu})\)である.(6)式の第一項目は今は興味がないので,\(x^{\mu}=0\)として消してしまおう.

ここで,\(M^{ij}=\epsilon^{ijk}J_k\)なので,

$$\epsilon^{ijk}[\varphi_a(0),J_k]=(S_L^{ij})_a^{\ \ b}\varphi_b(0)\tag{7}$$

となる.

ローレンツ群の(2,1)表現はスピン\(\frac{1}{2}\)のみであった.スピン\(\frac{1}{2}\)のときは慣習的にパウリ行列を使うことになっている.つまり,(7)の右辺を\(\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\sigma_k\)とするわけである.ここで,\(\sigma_k\)はパウリ行列である:

$$
\sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) ,
\sigma_2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right)
\sigma_3 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \tag{8}$$

したがって,

$$(S_L^{ij})_a^{\ \ b}=\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\sigma_k\tag{9}$$

と結論づける.

角運動量演算子\(J_i\)の(2,1)表現を得てしまえばブースト演算子\(K_k=M^{k0}\)の表現も簡単にわかる.\(J_k=N_k+N_k^{\dagger}\)と\(K_k=i(N_k-N_k^{\dagger})\)に対して,\((2,1)\)表現を考えているので\(N_k^{\dagger}=0\)である.よって,\(K_k=iJ_k\)であり,

$$(S_L^{k0})_a^{\ \ b}=\frac{1}{2}i\sigma_k\tag{10}$$

となる.

左手型スピノル場\(\varphi_a(x)\)のエルミート共役がどうなるか考えてみよう.エルミート共役により,ローレンツ群のリー代数に含まれる2つの\(SU(2)\)のリー代数は交換したことを思い出そう.すると,(2,1)表現の場のエルミート共役は(1,2)表現となる右手型スピノル場(右手型Weyl場)になる.(1,2)表現の添え字は(2,1)表現と区別するためにドットをつけることにする.したがって,

$$[\varphi_a(x)]^{\dagger}=\varphi_{\dot{a}}^{\dagger}(x)\tag{11}$$

この場はローレンツ変換の下で

$$U(\Lambda)^{-1}\psi_{\dot{a}}^{\dagger}(x)U(\Lambda)=R_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}(\Lambda)\psi_{\dot{b}}^{\dagger}(\Lambda^{-1}x)\tag{12}$$

のように変換する.ここで,\(R_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}(\Lambda)\)は(1,2)表現の行列である.これらは表現であるから

$$R_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}(\Lambda^{\prime})R_{\dot{b}}^{\ \ \dot{c}}(\Lambda)=R_{\dot{a}}^{\ \ \dot{c}}(\Lambda^{\prime}\Lambda)\tag{13}$$

を満たす.微小変換\(\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu}=\delta^{\mu}_{\ \ \nu}+\delta\omega^{\mu}_{\ \ \nu}\)を考えると

$$R_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}(1+\delta\omega)=\delta_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}+\frac{i}{2}\delta\omega_{\mu\nu}(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}\tag{14}$$

と書ける.ここで,\((S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}=-(S_R^{\nu\mu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}\)は\(M^{\mu\nu}\)と同じ交換関係を満たす\(2\times 2\)行列である.(7)式と同様に考えることで

$$[\psi_{\dot{a}}^{\dagger}(0),M^{\mu\nu}]=(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}\psi_{\dot{b}}^{\dagger}(0)\tag{15}$$

である.さらにエルミート共役を取ることで,

$$[M^{\mu\nu},\psi_a(0)]=[(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}]^*\psi_b(0)\tag{16}$$

である.(6)式と比較することで

$$(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}=-[(S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}]^*\tag{17}$$

前の章で二つのベクトル添え字を持つ場でのローレンツ変換を調べた.同じことを2つの(2,1)表現の添え字を持つ場で考えてみよう.そのような場を\(C_{ab}(x)\)と置くと,ローレンツ変換により,

$$U(\Lambda)^{-1}C_{ab}(x)U(\Lambda)=L_a^{\ \ c}(\Lambda)L_b^{\ \ d}(\Lambda)C_{cd}(\Lambda^{-1}x)\tag{18}$$

と変換する.興味があるのは\(C_{ab}\)の4成分がローレンツ変換の表現でどうように分類されるかである.

この質問に答えるために量子力学のスピン合成を思い出そう.スピン\(\frac{1}{2}\)同士の合成では一つのスピン0の反対称な状態と,三つのスピン1の対称な状態があった.このことを\(SU(2)\)の表現を用いて,

$$2\otimes 2=1_A\oplus 3_S$$

と表す.(2,1,3はそれぞれ成分の数を表す.)AとCはそれぞれ反対称,対称を表す.これを拡張すると

$$(2,1)\otimes (2,1)=(1,1)_A\oplus (3,1)_S$$

である.これは

$$C_{ab}(x)=\epsilon_{ab}D(x)+G_{ab}(x)\tag{19}$$

と表すべきだと主張している.ここで,\(D(x)\)はスカラー場で,\(\epsilon_{ab}=-\epsilon_{ba}\)は反対称な定数で\(G_{ab}(x)=G_{ba}(x)\)である.\(\epsilon_{ab}\)は一つの定数を定めることですべて定まる.ここでは,\(\epsilon_{21}=-\epsilon_{12}=+1\)とする.

\(D(x)\)はスカラー場なので,(19)式をローレンツ変換したときに対称,反対称は混ざらないことから

$$L_a^{\ \ c}(\Lambda)L_b^{\ \ d}(\Lambda)\epsilon_{cd}=\epsilon_{ab}\tag{20}$$

つまり,\(\epsilon_{ab}\)はローレンツ変換で不変テンソルである.この意味で\(\epsilon_{ab}\)は計量\(g_{\mu\nu}\)の性質

$$\Lambda_{\mu}^{\ \ \rho}\Lambda_{\nu}^{\ \ \sigma}g_{\rho\sigma}=g_{\mu\nu}\tag{21}$$

と類似の性質を持っている.

\(g_{\mu\nu}\)とその逆行列\(g^{\mu\nu}\)を用いてベクトル添え字を上げ下げした.これに類似して,スピノル添え字に対しては\(\epsilon_{ab}\)と逆行列\(\epsilon^{ab}\)を用いて上げ下げをしよう.\(\epsilon^{ab}\)の定義は

$$\epsilon^{12}=\epsilon_{21}=+1,\ \ \epsilon^{21}=\epsilon_{12}=-1\tag{22}$$

であり,

$$\epsilon_{ab}\epsilon^{bc}=\delta_a^{\ \ c},\ \ \epsilon^{ab}\epsilon_{bc}=\delta^a_{\ \ c}\tag{23}$$

を満たす.さらに

$$\psi^a(x)\equiv \epsilon^{ab}\psi_b(x)\tag{24}$$

と定義できる.さらに

$$\psi_a=\epsilon_{ab}\psi^b=\epsilon_{ab}\epsilon^{bc}\psi_c=\delta_a^{\ \ c}\psi_c\tag{25}$$

である.しかし,\(\epsilon^{ab}\)の反対称性からマイナス符号が出ることに注意しよう.

$$\psi^a=\epsilon^{ab}\psi_b=-\epsilon^{ba}\psi_b=-\psi_b\epsilon^{ba}=\psi_b\epsilon^{ab}\tag{26}$$

これにより,縮約した二つの場では

$$\psi^a\chi_a=\epsilon^{ab}\psi_b\chi_a=-\epsilon^{ba}\psi_b\chi_a=-\psi_b\chi^b\tag{27}$$

となる.

35章でこのマイナス符号を無視できるような添え字のない表記を導入する.

(1,2)表現でも同様のことが成り立つ.

$$(1,2)\otimes (1,2)=(1,1)_A\oplus (1,3)_S$$

であることから不変テンソル\(\epsilon_{\dot{a}\dot{b}}=-\epsilon_{\dot{b}\dot{a}}\)の存在がわかる.そして,(22)式と同様に定義された\(\epsilon_{\dot{a}\dot{b}}\)に対して,(23-27)でドットを付けたものがそのまま成り立つ.

次にドットなし添え字とドット付き添え字が1つずつの場\(A_{a\dot{a}}(x)\)を考えよう.この場は表現のテンソル積より,(2,2)表現となる.33章で書いたように(2,2)表現はベクトル表現である.つまり,この場は\(A^{\mu}(x)\)と書いてもよい.\(A_{a\dot{a}}(x)\)と\(A^{\mu}(x)\)の成分同士の関係を

$$A_{a\dot{a}}(x)=\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}A_{\mu}(x)\tag{28}$$

と書くことにする.ここで,\(\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\)も不変テンソルである.このような不変テンソルの存在は群の関係式

$$(2,1)\otimes (1,2)\otimes (2,2)=(1,1)\oplus\cdots \tag{29}$$

から推論される.(先ほどと同じように(1,1)の部分を\(\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\)とスカラー場でおくわけである.)

35章で

$$\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}=(I,\vec{\sigma})\tag{30}$$

と選んだときの\(S_L^{\mu\nu},S_R^{\mu\nu}\)を構成しよう.

一般には,表現同士の積で(1,1)が生成されるようなときに不変テンソルが存在する.たとえば,ベクトルでの計量\(g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}\)は

$$(2,2)\otimes (2,2)=(1,1)_S\oplus (1,3)_A\oplus(3,1)_A\oplus(3,3)_S\tag{31}$$

から存在が予言できる.他にはレヴィ・チビタ完全反対称テンソル\(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\)は

$$(2,2)\otimes (2,2)\otimes (2,2)\otimes (2,2)=(1,1)_A\oplus \cdots \tag{32}$$

の結果から生じる.ここで,Aは反対称からきており,完全反対称であることに由来する.また,\(\epsilon^{0123}=+1\)と定義しておく.\(\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\)が不変テンソルであることを見るには

$$\Lambda^{\mu}_{\ \ \alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \ \beta}\Lambda^{\rho}_{\ \ \gamma}\Lambda^{\sigma}_{\ \ \delta}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}=\epsilon^{\mu\nu\gamma\delta}$$

であることを確認すればいい.左辺の完全反対称性は自明である.さらにproperなローレンツ変換では\(\det \Lambda=1\)であることから\(\epsilon^{0123}=+1\)もわかる.

最後に33章の始めの疑問に答えよう.2つのベクトル添え字を持つ場\(B^{\mu\nu}(x)\)を次のように分解したのであった.

$$B^{\mu\nu}(x)=A^{\mu\nu}(x)+S^{\mu\nu}(x)+\frac{1}{4}g^{\mu\nu}T(x)\tag{33}$$

ここで,\(A^{\mu\nu}\)は反対称,\(S^{\mu\nu}\)は対称かつトレースレスである.この分解はローレンツ変換の下で混ざらないわけだがこれ以上小さい既約表現の分解があるかが疑問であった.これは(31)式が解決してくれる.明らかに\(T(x)\)は(1,1)表現に対応し,\(S^{\mu\nu}\)は(3,3)表現に対応する.しかし,場\(A^{\mu\nu}(x)\)は\((3,1)\oplus (1,3)\)に対応する.ここで,\((3,1)\)は\((2,1)\otimes (2,1)\)の対称部分であった.よって,ドットなしの2つの添え字を持つ対称テンソルである.また,(1,3)表現はそのエルミート共役であり,ドット付きの2つの添え字を持つ対称テンソルである.(28)式に類似するような場\(G_{ab}(x)\)とエルミート共役\(G_{\dot{a}\dot{b}}^{\dagger}(x)\)を\(A^{\mu\nu}(x)\)とつなぐ写像を見つけよう.

この写像は生成子\(S_L^{\mu\nu},S_R^{\mu\nu}\)により与えられる.パウリ行列はトレースレスであるから,(9),(10)より,\((S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ a}\)である.これは(24)式を使うと\(\epsilon^{ab}(S_L^{\mu\nu})_{ab}=0\)である.ここで,\(\epsilon^{ab}\)は反対称だから\((S_L^{\mu\nu})_{ab}\)は2つのスピノル添え字に対し,対称である.同様に\((S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}\dot{b}}\)もスピノル添え字に対して対称である.さらに(9),(10)式より,

$$(S_L^{10})_a^{\ \ b}=-i(S_L^{23})_a^{\ \ b}\tag{34}$$

である.この関係は

$$(S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}=-\frac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(S_{L\ \rho\sigma})_a^{\ \ b}\tag{35}$$

に拡張できる.さらに(35)式の複素共役を取って,(17)式を使うことで

$$(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}=+\frac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(S_{R\ \rho\sigma})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}\tag{36}$$

が分かる.

(3,1)表現の場\(G_{ab}(x)\)は次の写像で自己双対な反対称テンソル\(G^{\mu\nu}(x)\)に移る.

$$G^{\mu\nu}(x)\equiv (S_L^{\mu\nu})^{ab}G_{ab}(x)\tag{37}$$

自己双対とは

$$G^{\mu\nu}(x)=-\frac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}G_{\rho\sigma}(x)\tag{38}$$

を意味する.(37)式でエルミート共役を取り,(17)式を用いると

$$G^{\dagger\mu\nu}(x)=-(S_R^{\mu\nu})^{\dot{a}\dot{b}}G_{\dot{a}\dot{b}}^{\dagger}(x)\tag{39}$$

であり,反自己双対

$$G^{\dagger\mu\nu}(x)=+\frac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}G_{\rho\sigma}^{\dagger}(x)\tag{40}$$

を満たす.与えられたエルミート反対称テンソル場\(A^{\mu\nu}(x)\)に対し,次のように自己双対,反自己双対部分に分けることができる.

\begin{align} G^{\mu\nu}(x)&= \frac{1}{2}A^{\mu\nu}(x)-\frac{i}{4}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_{\rho\sigma}(x)\tag{41}\\
G^{\dagger\mu\nu}(x)&= \frac{1}{2}A^{\mu\nu}(x)+\frac{i}{4}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_{\rho\sigma}(x)\tag{42}\end{align}

これより,

$$A^{\mu\nu}(x)=G^{\mu\nu}(x)+G^{\dagger \mu\nu}(x)\tag{43}$$

と分けることができる.この場\(G^{\mu\nu}(x)\)は(3,1)表現であり,場\(G^{\dagger\mu\nu}(x)\)は(1,3)表現である.そして,これらはローレンツ変換の下で混ざらないのである.

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