JMO予選2019問5


答え\(\cdots333033\)
【分析】
合同式の基本的な問題です。合同式を用いた問題はよく出題されますから、すんなり解きたい1問ですね。
\(97,100,103\)という互いに素な数で割ったあまりがわかっていますから、
\(97×100×103=999100\)で割った余りが中国式剰余定理から1つに決まります。999100で割った余りが求めやすい形に式変形できるかが鍵でした。

【略解】
求める数を\(x\)とする。
\begin{eqnarray}x&≡&32(mod\ 97)\\
x&≡&33(mod\ 100)\\
x&≡&34(mod\ 103)\end{eqnarray}より、(\(32,33,34\)は公差1の等差数列で、\(97,100,103\)は公差3の等差数列であることをヒントに)両辺3倍して
\begin{eqnarray} &&3x≡96≡-1(mod\ 97)\\
3x&≡&99≡-1(mod\ 100)\\
3x&≡&102≡-1(mod\ 103)\\
∴\ 3x&≡&-1≡999099(mod\ 999100)
\end{eqnarray}


\(3\)と\(999100\)は互いに素なので、この式を3で割れば、
\begin{eqnarray} x&≡&333033(mod\ 999100)\\
∴x&=&333033\end{eqnarray}

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