デルタ関数の心

まだデルタ関数の定義を書いてないが、まず何故デルタ関数というものが必要なのかを説明する。(特に読まなくてもよい。)

電磁気学や力学で点電荷、点粒子を考えていたと思う。これを数式で表そうと思った時、疑問が発生する。点電荷は電荷を持っているにも関わらず点として扱っているということは電荷密度が一点で無限大ということを意味している。果たして数式でこのような状況を表現することは可能なのであろうか。

これをもう少し正確に述べよう。今は座標原点に電荷Qを持つ点電荷がありそれが箱に入っていて、あなたはその箱を外から見ているとする。するとこの箱は中に電荷Qがあるので、箱の総電荷は当然Qになる。ではこの箱の中身の電荷密度(電荷分布)はどうなっているだろうか。箱の中の電荷密度を$\rho(\textbf{x})$で表そう。すると箱の総電荷がQなので
\begin{eqnarray}
\int_{箱}\rho(\textbf{x})dV=Q
\end{eqnarray}
(積分範囲は箱の中全体とし、$dV$は微小体積とした)が成り立つ。しかし電荷密度単品に注目すると、原点に点電荷があるだけでその他の点には電荷は存在していないことになる。従って
\begin{eqnarray}
\rho(\textbf{x})=
\begin{cases}
ある値& (\textbf{x}=0) \\
0& (原点を除いた箱の中)
\end{cases}
\end{eqnarray}
のような電荷分布になっている。問題はこの「ある値」と書いた値の大きさであるが、$\int_{箱}\rho(\textbf{x})dV=Q$(=有限値)という揺るがない事実があるので、積分の考えに基づくと一点だけで値を持つ関数を積分して有限な積分値Qを持たせるためには$\rho$はその一点で無限大の値を持ってないと不可能である。つまり点電荷を扱うならば、
\begin{eqnarray}
\rho(\textbf{x})=
\begin{cases}
\infty& (\textbf{x}=0)\\
0& (原点を除いた箱の中)
\end{cases}
\end{eqnarray}
でないとマズイということが分かった。

この関数が奇妙な関数だと感じられただろうか。一点で無限大の値を持ち、その他の点では0な関数。なのに積分するとある有限な値を返す不思議な関数なのだ。逆に言えば点電荷を表現するにはこのような関数が自然と必要なのである。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です