デルタ関数の定義

デルタ関数の定義の仕方は幾つかあるが、ここでは次のように定義する。

デルタ関数$~\delta(x)~$とは、任意の関数$~f(x)~$に対し、
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}~f(x)\delta(x)dx=f(0)
\end{equation}
を満たす関数として定義する。

工学系ではサンプリング関数などとも呼ばれ、定義式からも分かるように$~f(x)~$の$~x=0~$の値だけ抽出しており、まさにサンプリングと呼ぶにふさわしい作用をしている。またインパルス関数とも呼ばれ、撃力などの一瞬の間だけ働く力を記述するのに用いたりもする。

さて、話しを戻そう。まず定義式からも明らかだが$~f(x)~$の$~x=0~$の値のみが結果に関係しており、その他の$~f(x)~$の値には影響されない。積分の定義・リーマン和を思い出せば、これはデルタ関数が$~x=0~$以外の点では値を持たず$~x=0~$の点で無限大の値を持つことを意味している(もし$~x=a\neq0~$で値を持っていたら、積分値は$~f(a)~$の値にも依るはず)。また$~f(x)=1(\forall x\in\mathbb{R})~$という関数を代入してやれば$~\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1~$となり、積分の幾何学的な解釈に基づけばデルタ関数が作る面積は1ということになる。一つ前の考察と合わせればデルタ関数は$~x=0~$で無限大となるにも関わらずその面積は1という奇妙な性質を持っている特異な関数なのである。このδ関数は当に先程話した点電荷を表現する為に必要な関数の性質を満たしている。

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