デルタ関数の別定義:その1

本によってデルタ関数の定義は若干異なっている時がある。もちろん意味は同じなのだが、他の定義を知ることでデルタ関数の理解が深まるだろうから、それについて以下で見ていこう。

まず本書でのデルタ関数の定義式
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}~f(x)\delta(x)dx=f(0)
\end{equation}
に注目しよう。任意関数$~f(x)~$に対し積分の結果として$~x=0~$しか効いてこないので、正の実数$~a~$を用いて積分範囲を
\begin{equation}
\int_{- \infty}^{-a}~f(x)\delta(x)dx
+
\int_{-a}^{a}~f(x)\delta(x)dx
+
\int_{a}^{\infty}~f(x)\delta(x)dx
=f(0)
\end{equation}
のように分離するとデルタ関数の性質から第一項、第三項は0となり、結果としてデルタ関数の定義式を
\begin{eqnarray}
\int_{-a}^{a}~f(x)\delta(x)dx
=f(0)
\end{eqnarray}
としても良いと言える。また同様に考えると、$~a<0<b~$を満たす実数$~a,b~$を用いて
\begin{eqnarray}
\int_{a}^{b}~f(x)\delta(x)dx
=f(0)
\end{eqnarray}
としても良いと分かるだろう。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です