JJMO予選2019問9


答え\(\cdots \frac{63}{2}\)

【分析】
なかなかの難問です。これが解ける人は予選通過した人がほとんどなのではないのでしょうか。しかし、以下の略解を見ればわかると思いますが、実はかなり簡単に解けてしまいます!
内接円がらみの辺の長さの計量問題で意識すべきは「接線の長さは等しい」という基本的な事実です。これを使うことを強く意識すると道が開けます。

【略解】
四角形\(ADFE\)の内接円\(O\)の\(AD,DF,FE,EA\)での接点を\(P,Q,R,S\)とおく。
\(AP=AS=a,FQ=FR=b\)とおけば、
(求める長さを変形していくと)
$$AB=AP+PB=AP+RB=a+b+6\cdots①$$
(対称的に同様に)
$$ AC=AS+SC=AS+QC=a+b+7\cdots②$$
①②より

$$AC=AB+1\cdots③$$
(ここまでくれば簡単で…)
ピタゴラスの定理より

$$AB^2+8^2=AC^2$$
\( AB=x\)とおくと、③より
$$x^2+64=(x+1)^2$$
これを解いて\(x=\frac{63}{2}\)


1 thought on “JJMO予選2019問9

  1. えめえめ

    この問題が、恐らく今回一番の良問じゃないかな?
    正直3番で出題すれば得点率の上がりそうな問題。

    返信

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