JMO予選2019問1


答え\(\cdots (1,2,14),(1,3,9)\)


【分析】
絶対に落とせない1問なので確実にとりましょう。不等式を用いて\(x\)の範囲をしぼりこんでもよいですが、左辺が\(x\)の倍数であることかはしぼりこんだ方が若干早いです。

【略解】
左辺は\(x\)の倍数。
\(∴\ x\)は\(31\)の正の約数だが\(x=31\)とすると\(xy+xyz=0\)となり矛盾。
\(∴\ x=1\)にしぼられ、これを与式に代入すると、

$$y+yz=30\ ⇔\ y(z+1)=30$$
このような\(y,z\)を探すと、\(1<y<z\)に注意して、\((y,z+1)=(2,15),(3,10)\)のみ。
以上より、求める解は\((1,2,14),(1,3,9)\)

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