JMO予選2019問2


答え\(\cdots 235\)

【分析】
「全て求めよ」にも関わらず答えが1つなので若干不安になるものの簡単な問題なので落とせません。
modで考えて一の位をしぼりこみ、不等式で考えて百の位をしぼりこむという、2つの代表的な整数問題の戦略がつまった1問です。

【略解】
各々の位は2,3,5,7のいずれかである。
一の位が2,3,5,7の数を二乗すると、一の位はそれぞれ4,9,5,9となるので、二乗すると「良い数」となる「良い数」の一の位は5に限られる。
また、\(320^2=102400\)より、二乗すると5桁になる「良い数」の百の位は2に限られる。
以上より、求める整数は\(225,235,255,275\)に限られ、
$$ 225^2=50625\\
235^2=55225\\
255^2=65025\\
275^2=75625$$
より、条件を満たす「良い数」は\(235\)のみ。

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