JMO予選2019問6


答え\(\cdots78\)

【分析】
予選通過か否かのボーダーに大きく関わる1問です。
正120角形を円に内接させて考えると、1つの辺に対応する弧の中心角は\(360^{\circ}÷120=3^{\circ}\)であり、円周角はその半分の\(1.5^{\circ}\)ですから、\(18^{\circ},81^{\circ},81^{\circ}\)の2等辺3角形が出来るのは、(中心角\(3^{\circ}\)に対応する円弧を「1マス」と表現することにすると、)円周が12マス,54マス,54マスに分断されるときですね。
これは、正120角形の頂点を6個おきに選んで得られる(全部で6つある)正20角形のうちの1つの3頂点になっているので、(正20角形の一辺に対応する円弧を「1めもり」と新たに表現することにすると、)円周が「2めもり,9めもり,9めもり」にならないように選べばよいとわかります。
1つの正20角形に対して、このようなことが起こらない頂点の選び方を考えるという方針が立ったかどうかが1つめの壁でしょう。

【略解】
正20角形\(A_1A_2\cdots A_{20}\)に対し、どの印のついた3頂点も円周を「2めもり,9めもり,9めもり」に分断しないような印のつけ方を考える。
$$\triangle A_1A_{10}A_{12},\triangle A_2A_{11}A_{13},\cdots,\triangle A_{20}A_9A_{11}\cdots①$$

のどの3角形も印のついてない頂点が存在するようにしなければならないが、印のついてない頂点が6個以下のとき、(どの頂点も①の3角形のうち3回しか登場しないので、) ①の3角形のうち、\(3\times 6=18\)個以下の三角形しかカバーできず、全ての頂点に印のついた三角形が①の中に存在してしまう。

(この時点で印のついてない頂点が7個ならよさそうだと予想でき、実際…)\(A_5,A_6,A_{12},A_{13},A_{18},A_{19},A_{20}\)に印をつけず、それ以外に印をつけた場合は条件を満たす。
これが、正120角形の頂点を6個おきに選んで得られる(全部で6つある)正20角形全てで成り立つので、条件を満たす印の個数としてあり得る最大の値は\(13\times 6=78\)

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