クーロンゲージと量子化:拘束条件の整合性と未定乗数の決定

なぜ未定乗数が決まらなかったのか、それはゲージ対称性が理論にあるからだ。そこで例えばクーロンゲージ条件を追加で課してみよう:
\begin{eqnarray}
\partial_iA^i\approx0
\end{eqnarray}
この新しい拘束条件の整合性を確認しよう。
\begin{eqnarray}
\int d^3y~\left\{
\partial_i^xA^i(x),\mathcal{H}_T(y)
\right\}
&=&
\int d^3y~\left\{
\partial_i^xA^i(x),
\frac{1}{2}(\Pi^i(y))^2
+
\Pi^i(y)\partial^y_iA^0(y)
\right\}\\
&=&
\partial_i\Pi^i(x)-\triangle A^0(x)\\
&\approx&-\triangle A^0(x)
\end{eqnarray}
最後に残った項は既存の拘束条件で0に出来ないので、新しい拘束条件となる。もちろん$~\triangle A^0\approx0~$を新しい拘束条件としてもいいが、もっと強く$~A^0\approx0~$を要請しよう。この新しい拘束条件の整合性より
\begin{eqnarray}
\left\{
A^0(x),H_T
\right\}
&=&\int d^3y~
\left\{
A^0(x),\lambda(y)\Pi^0(y)
\right\}
\approx\lambda(x)
\end{eqnarray}
よってこの条件の整合性は未定乗数を0にすることで満足される。以上により、整合性は全て満たされた。以上より、クーロンゲージが課された結果は全ての拘束条件を考慮して、以下の全ハミルトニアンに纏められる(拘束条件を使って落とせる項は可能な限り消した)。
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}_T=
\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2
+
\frac{1}{2}(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)
\end{eqnarray}

とりあえず、ここまでに課された拘束条件を通し番号を付けて並べると
\begin{eqnarray}
\phi_1&=&\nabla_iA^i\\
\phi_2&=&\nabla_i\Pi^i\\
\phi_3&=&A^0\\
\phi_4&=&\Pi^0
\end{eqnarray}
となっている。蛇足だが、当然これらの整合性は上記の全ハミルトニアンから保証されている。

一応述べておくが、この全ハミルトニアンは古典電磁気学のエネルギー密度に一致している。それを見ておこう。共役運動量は拘束条件を使うことで\(~\Pi^i=-F^{0i}=-\dot{A}^i-\partial_iA^0\approx-\dot{A}^i~\)になるので、通常の電場とゲージ場の関係式より
\begin{eqnarray}
E^i&=&\left(-\nabla\phi-\frac{\partial}{\partial t}\textbf{A}\right)^i\\
&=&
-\partial_iA^0-\dot{A}^i\\
&\approx&-\dot{A}^i\\
&=&\Pi^i
\end{eqnarray}
を得る。一方で、天下り的だが
\begin{eqnarray}
\int d^3x~B^iB^i=\int d^3x~(\epsilon^{ijk}\partial_jA_k)(\epsilon^{imn}\partial_mA_n)&=&\int d^3x~(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)

(\partial_iA^j)(\partial_jA^i)\\
(部分積分と拘束条件で第二項は消える\rightarrow)&\approx&\int d^3x~(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)
\end{eqnarray}
となるから、この結果を持って全ハミルトニアンは
\begin{eqnarray}
H_T&=&\int d^3x~
\mathcal{H}_T\\
&=&
\int d^3x~\left[\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2
+
\frac{1}{2}(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)\right]\\
&=&
\frac{1}{2}\int d^3x~\left(
\mathbf{E}^2+\mathbf{B}^2
\right)
\end{eqnarray}
となり、古典電磁気学のエネルギー密度に厳密に一致する。

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