クーロンゲージと量子化:ディラック括弧の構成

ここまでの拘束条件に通し番号を付けて並べると
\begin{eqnarray}
\phi_1&=&\nabla_iA^i\\
\phi_2&=&\nabla_i\Pi^i\\
\phi_3&=&A^0\\
\phi_4&=&\Pi^0
\end{eqnarray}
となっており、これらのポアソン括弧を計算してみると
\begin{eqnarray}
C(\textbf{x}-\textbf{y})=
\left(\left\{\phi_i(x),\phi_j(y)\right\}\right)
&=&
\begin{pmatrix}
0&\triangle^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})&0&0\\
-\triangle^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})&0&0&0\\
0&0&0&\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
0&0&-\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
になり、これ以上基本変形を繰り返しても簡易化は出来ないので、これらは全て第二種の拘束条件になると分かった。故にディラック括弧を構成することで拘束条件が消去できる。実際にディラック括弧を構成しよう。まず行列$~C~$の逆行列は、$~\int d^3z~C_{ij}^{-1}(\textbf{x}-\textbf{z})C_{jk}(\textbf{z}-\textbf{y})=\delta_{ij}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})~$で定義されていた。
次に行列\(~C~\)の形から、逆行列の形を
\begin{eqnarray}
C^{-1}(\textbf{x}-\textbf{y})
=
\begin{pmatrix}
0&-g(\textbf{x}-\textbf{y})&0&0\\
g(\textbf{x}-\textbf{y})&0&0&0\\
0&0&0&f(\textbf{x}-\textbf{y})\\
0&0&-f(\textbf{x}-\textbf{y})&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
と仮定する事が出来る。これを逆行列の定義式に代入すると、例えば条件式
\begin{eqnarray}
\int d^3z~(\triangle_x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{z}))g(\textbf{z}-\textbf{y})=\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
を得る。この式を部分積分して変形すると
\begin{eqnarray}
\int d^3z~\delta^3(\textbf{x}-\textbf{z})\triangle_zg(\textbf{z}-\textbf{y})=\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
と書き換えられるので、この式を満たす為には
\begin{eqnarray}
\triangle_zg(\textbf{z}-\textbf{y})=\delta^3(\textbf{z}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
と取ってやればいい。この式はポアソン方程式なので簡単に解けて

一般的に微分演算子\(~\hat{Q}~\)があった時、任意の関数\(~f(x)~\)に対する\(~Q^{-1}~\)の作用は、\(~\hat{Q}g(x)=f(x)~\)を満たす\(~g~\)を用いて$~\frac{1}{\hat{Q}}f(x)\equiv g(x)~$で定義される。

\begin{eqnarray}
g(\textbf{z}-\textbf{y})
&=&
\frac{1}{\triangle_z}\delta^3(\textbf{z}-\textbf{y})
=
-\frac{1}{4\pi|\textbf{z}-\textbf{y}|}
\end{eqnarray}
を得る。従って
\begin{eqnarray}
C^{-1}(\textbf{x}-\textbf{y})
=
\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{4\pi|\textbf{z}-\textbf{y}|}&0&0\\
-\frac{1}{4\pi|\textbf{z}-\textbf{y}|}&0&0&0\\
0&0&0&-\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
0&0&\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
という解を得る。これに基づいて正準変数間のディラック括弧を計算していこう。ディラック括弧が0にならないもの$~or~$重要なものだけ計算を紹介する。
\begin{eqnarray}
\left\{
{A_0(x)},{\Pi^0(y)}
\right\}_D
&=&
\left\{
{A_0(x)},{\Pi^0(y)}
\right\}_P

\int d^3zd^3w~
\left\{
{A_0(x)},{\phi_4(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{43}(\textbf{z}-\textbf{w})
\left\{
{\phi_3(w)},{\Pi^0(y)}
\right\}_P\nonumber\\
\\
&=&
\left\{
{A_0(x)},{\Pi^0(y)}
\right\}_P

\int d^3zd^3w~
\left\{
{A_0(x)},{\Pi^0(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{43}(\textbf{z}-\textbf{w})
\left\{
{A^0(w)},{\Pi^0(y)}
\right\}_P\nonumber\\
\\
&=&
\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3zd^3w~
\delta^3(\textbf{x}-\textbf{z})
\delta^3(\textbf{z}-\textbf{w})
\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\\
&=&
0\\
\end{eqnarray}
これは実は自明であったが、確認のために計算してみた。というのも、$~A^0~$も$~\Pi^0~$も拘束条件なのでディラック括弧の中では自明に0であるからだ。
\begin{eqnarray}
\left\{
{A_i(x)},{\Pi^j(y)}
\right\}_D
&=&
\left\{
{A_i(\textbf{x})},{\Pi^j(\textbf{y})}
\right\}_P

\int d^3zd^3w~
\left\{
{A_i(x)},{\phi_2(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\left\{
{\phi_1(w)},{\Pi^j(y)}
\right\}_P\nonumber\\
&=&
\delta^j_i(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3zd^3w~
\left\{
{A_i(x)},{\nabla_z\cdot\boldsymbol{\Pi}(z)}
\right\}
C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\left\{
{\nabla_w\cdot\textbf{A}(w)},{\Pi^j(y)}
\right\}_P\nonumber\\
\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3zd^3w~
\partial^z_m
\left\{
{A_i(x)},{\Pi^m(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\partial^w_n\left\{
{A^n(w)},{\Pi^j(y)}
\right\}_P
\nonumber\\
\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})
+
\int d^3zd^3w~
\partial^z_m\left\{
{A_i(x)},{\Pi^m(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\partial^w_n\left\{
{A_n(w)},{\Pi^j(y)}
\right\}_P
\nonumber\\
\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\partial_n^w\left\{{A_n(w)},{\Pi^j(y)}\right\}_P\right]\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[C^{-1}_{21}(\textbf{x}-\textbf{w})
\partial_j^w\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})
\right]\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]
\equiv
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
他の場のディラック括弧は0になる。ちなみに最後の式は横波デルタ関数と呼ばれ、次の性質を満たす。
\begin{eqnarray}
\partial_i^x\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})&=&\partial_i^x\left(
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]
\right)\\
&=&
\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial_i^x\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]\\
&=&
\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\triangle
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]\\
&=&
\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)\\
&=&
\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&0
\end{eqnarray}
よって、横波デルタ関数はクーロンゲージ条件と同じ形の$~\nabla_i\delta_i^j(\textbf{x}-\textbf{y})=0~$を満たす。とは言っても当然の結果で、そもそもディラック括弧の構成から明らかだが、ディラック括弧内では好きなように拘束条件を0に出来るのだった。だから、
\begin{eqnarray}
\partial_i^x\left\{
{A_i(x)},{\Pi^j(y)}
\right\}_D
&=&
\left\{{\partial_i^xA_i(x)},{\Pi^j(y)}\right\}_D
=
\left\{
{\phi_1(x)},{\Pi^j(y)}
\right\}_D
=0
\end{eqnarray}
が成り立つので、最右辺も整合性から0にならなければならないのは必然なのである。横波デルタ関数の運動量表示も求めておこう。まず\(~\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]~\)を書き直すと
\begin{eqnarray}
\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]&=&
-\partial^y_j\partial_i^x\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&
\partial^x_j\partial_i^x\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&
\partial^x_j\partial_i^x\frac{1}{\triangle}
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}\\
&=&
\partial^x_j\partial_i^x
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\frac{-1}{|\textbf{k}|^2}e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}\\
&=&
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\frac{k^ik^j}{|\textbf{k}|^2}e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}
\end{eqnarray}
従って、横波デルタ関数のフーリエ変換は
\begin{eqnarray}
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
=
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\delta^j_ie^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}

\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\frac{k^ik^j}{|\textbf{k}|^2}e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}
&=&
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~
\left(
\delta^j_i-\frac{k^ik^j}{|\textbf{k}|^2}
\right)
e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}\\
or~&=&
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~
\left(
\delta^j_i+\frac{k_ik^j}{|\textbf{k}|^2}
\right)
e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
\delta^j_{iTR}(k)=\delta^j_i+\frac{k_ik^j}{|\textbf{k}|^2}
\end{eqnarray}
を得る。位置座標表示に比べ、こちらのほうが幾分見やすいだろう。この運動量表示を見てみると、次の公式を得ることが出来る。
\begin{eqnarray}
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
=
\delta^j_{iTR}(\textbf{y}-\textbf{x})
=
\delta^i_{jTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です