クーロンゲージと量子化:ゲージ場の運動方程式

次は場の時間発展:運動方程式を導いておこう。
\begin{eqnarray}
i\dot{A}^i(x)&=&
[A^i(x),H(x^0)]\\
&=&\int d^3y~
[A^i(x),\mathcal{H}(y)]\\
&=&
\int d^3y~
\left[A^i(x),\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2\right]\\
&=&
\int d^3y~
\Pi^j(y)\left[A^i(x),\Pi^j(y)\right]\\
&=&
-i\int d^3y~
\Pi^j(y)
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&
-i\int d^3y~
\Pi^j(y)
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}
\left(
\delta^j_i-\frac{k^ik^j}{|\textbf{k}|^2}
\right)
e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}\\
&=&
-i\Pi^i(x)\\
&\downarrow&\\
\Pi^i&=&-\dot{A}^i
\end{eqnarray}

6行目から7行目:\(~k^ie^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}~\)のような組み合わせがあった時、\(~\partial_ie^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}~\)のように微分演算子を用いて置き換えることが出来る。このようにして作った微分演算子を部分積分をして\(~\Pi^j(y)~\)の方に作用させれば、拘束条件\(~\nabla\cdot\boldsymbol{\Pi}=0~\)より0にすることが出来る。この事実を用いて第二項を落とした。

\begin{eqnarray}
i\dot{\Pi}^k(x)&=&
\int d^3y\left[
\Pi^k(x),\mathcal{H}(y)
\right]\\
&=&
\int d^3y~\left[
\Pi^k(x),
\frac{1}{2}(\partial_iA^j(y))(\partial_iA^j(y))
\right]\\
&=&
\frac{1}{2}\int d^3y~\left[
\Pi^k(x),
(\partial_iA^j(y))(\partial_iA^j(y))
\right]\\
&=&
\int d^3y~
(\partial_iA^j(y))
\left[
\Pi^k(x),
(\partial_iA^j(y))
\right]
\\
&=&
-\int d^3y~
(\partial_i\partial_iA^j(y))
\left[
\Pi^k(x),
A^j(y)
\right]
\\
&=&
-\int d^3y~
(\partial_i\partial_iA^j(y))
\left[
A_j(y)
,
\Pi^k(x)
\right]\\
&=&
-i\int d^3y~
(\partial_i\partial_iA^j(y))
\delta^k_{jTR}(\textbf{y}-\textbf{x})\\
&=&
-i\triangle A^k(x)~~(\because 計算方法は前述済み)
\end{eqnarray}
従って、上記の2つの計算を組み合わせると
\begin{eqnarray}
\ddot{A}^i
=
-\dot{\Pi}^i
=
\triangle A^i
~~\Rightarrow~~
0=\left[
\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\triangle
\right]A^i=
\square A^i
\end{eqnarray}
以上より、ゲージ場は質量0のクライン・ゴルドン方程式に従うことが分かった。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です