35.スピノル添字の操作

34章で不変テンソル\(\epsilon_{ab},\epsilon^{ab},\epsilon_{\dot{a}\dot{b}},\epsilon^{\dot{a}\dot{b}}\)を次のように定義した.

$$\epsilon^{12}=\epsilon^{\dot{1}\dot{2}}=\epsilon_{21}=\epsilon_{\dot{2}\dot{1}}=+1,\ \ \epsilon^{21}=\epsilon^{\dot{2}\dot{1}}=\epsilon_{12}=\epsilon_{\dot{1}\dot{2}}=-1\tag{1}$$

これらはスピノル添字の上げ下げに用いる.(\(\epsilon\)の後ろの添字で縮約を取るとマイナス符号が生じる.)

他の不変テンソルとして

$$\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}=(I,\vec{\sigma})\tag{2}$$

がある.ここで,\(I\)は\(2\times 2\)の単位行列で

$$\sigma_1=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0\end{array}\right),\ \sigma_2=\left(\begin{array}{cc} 0&-i\\ i&0\end{array}\right),\ \sigma_3=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\tag{3}$$

はパウリ行列である.

次に,\(g_{\mu\nu}\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\sigma_{b\dot{b}}^{\nu}\)のような不変テンソルの縮約でできたものについて考えよう.これも明らかに不変テンソルである.そして,2つのドットなし添字と2つのドット付き添字を持つので\(\epsilon_{ab}\epsilon_{\dot{a}\dot{b}}\)に比例しているはずである.比例定数がいくつかは面倒だが簡単な計算により,-2になるとわかる:

$$\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\sigma_{\mu b\dot{b}}=-2\epsilon_{ab}\epsilon_{\dot{a}\dot{b}}\tag{4}$$

同様の議論で\(\epsilon^{ab}\epsilon^{\dot{a}\dot{b}}\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\sigma_{b\dot{b}}^{\nu}\)は\(g^{\mu\nu}\)に比例しているはずであり,その比例定数も-2となる:

$$\epsilon^{ab}\epsilon^{\dot{a}\dot{b}}\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\sigma_{b\dot{b}}^{\nu}=-2g^{\mu\nu}\tag{5}$$

次に\(\epsilon_{ab},\epsilon_{\dot{a}\dot{b}},\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\)がすべて不変テンソルであることから生成子\((S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b},(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}\)についてわかることを見ていこう.

始めに\(\epsilon_{ab}\)は不変テンソルだから

$$\epsilon_{ab}=L(\Lambda)_a^{\ \ c}L(\Lambda)_b^{\ \ d}\epsilon_{cd}\tag{6}$$

が成り立つ.微小変換\(\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu}=\delta^{\mu}_{\ \ \nu}+\delta\omega^{\mu}_{\ \ \nu}\)に対し,

$$L_a^{\ \ b}(1+\delta\omega)=\delta_a^{\ \ b}+\frac{i}
{2}\delta\omega_{\mu\nu}(S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}\tag{7}$$

であったからこれを(6)式に代入すると

\begin{align} \epsilon_{ab}&=\epsilon_{ab}+\frac{i}{2}\delta\omega_{\mu\nu}\left[(S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ c}\epsilon_{cb}+(S_L^{\mu\nu})_b^{\ \ d}\epsilon_{ad}\right]+O(\delta\omega^2)\\ &=\epsilon_{ab}+\frac{i}{2}\delta\omega_{\mu\nu}\left[ -(S_L^{\mu\nu})_{ab}+(S_L^{\mu\nu})_{ba}\right]+O(\delta\omega^2)\tag{8}\end{align}

となる.ここで,\(\delta\omega\)は任意であったから係数部分の大括弧は\(0\)となる.つまり,\((S_L^{\mu\nu})_{ab}=(S_L^{\mu\nu})_{ba}\)であるがこれは34章で違う方法で導かれている.また,\(\epsilon_{\dot{a}\dot{b}}\)が不変テンソルであることから同じ議論をすることで\((S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}\dot{b}}=(S_L^{\mu\nu})_{\dot{b}\dot{a}}\)が導ける.

次に,\(\sigma_{a\dot{a}}^{\rho}\)が不変テンソルであることから

$$\sigma_{a\dot{a}}^{\rho}=\Lambda^{\rho}_{\ \ \tau}L(\Lambda)_a^{\ \ b}R(\Lambda)_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}\sigma_{b\dot{b}}^{\tau}\tag{9}$$

である.微小変換を考えると

\begin{align} \Lambda^{\rho}_{\ \ \tau}&=\delta^{\rho}_{\ \ \tau}+\frac{i}{2}\delta\omega_{\mu\nu}(S_V^{\mu\nu})^{\rho}_{\ \ \tau},\tag{10}\\
L_a^{\ \ b}(1+\delta\omega)&=\delta^{\ \ b}_{a}+\frac{i}{2}\delta\omega_{\mu\nu}(S_L^{\mu\nu})^{\ \ b}_{a},\tag{11}\\
R_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}(1+\delta\omega)&=\delta^{\ \ \dot{b}}_{\dot{a}}+\frac{i}{2}\delta\omega_{\mu\nu}(S_R^{\mu\nu})^{\ \ \dot{b}}_{\dot{a}},\tag{12}\end{align}

である.ここで,

$$(S_V^{\mu\nu})^{\rho}_{\ \ \tau}\equiv \frac{1}{i}(g^{\mu\rho}\delta^{\nu}_{\ \ \tau}-g^{\nu\rho}\delta^{\mu}_{\ \ \tau})\tag{13}$$

である.(10-13)式を(9)式に代入して \(\delta\omega_{\mu\nu}\)の係数が\(0\)であることから

$$(g^{\mu\rho}\delta^{\nu}_{\ \ \tau}-g^{\nu\rho}\delta^{\mu}_{\ \ \tau})\sigma_{a\dot{a}}^{\tau}+i(S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}\sigma_{b\dot{a}}^{\rho}+i(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}\sigma_{a\dot{b}}^{\rho}=0\tag{14}$$

である.さらに\(\sigma_{\rho c\dot{c}}\)を両辺掛けて

$$\sigma_{c\dot{c}}^{\mu}\sigma_{a\dot{a}}^{\nu}-\sigma_{c\dot{c}}^{\nu}\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}+i(S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}\sigma_{b\dot{a}}^{\rho}\sigma_{\rho c\dot{c}}+i(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}}^{\ \ \dot{b}}\sigma_{a\dot{b}}^{\rho}\sigma_{\rho c\dot{c}}=0\tag{15}$$

である.後ろ2項で(4)式を用いると

$$\sigma_{c\dot{c}}^{\mu}\sigma_{a\dot{a}}^{\nu}-\sigma_{c\dot{c}}^{\nu}\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}+2i(S_L^{\mu\nu})_{ac}\epsilon_{\dot{a}\dot{c}}+2i(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}\dot{c}}\epsilon_{ac}=0\tag{16}$$

さらに(16)式に\(\epsilon^{\dot{a}\dot{c}}\)を掛けて和を取ると

$$(S_L^{\mu\nu})_{ac}=\frac{i}{4}\epsilon^{\dot{a}\dot{c}}(\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\sigma_{c\dot{c}}^{\nu}-\sigma_{a\dot{a}}^{\nu})\sigma_{c\dot{c}}^{\mu}\tag{17}$$

となる.ここで,\(\epsilon^{\dot{a}\dot{c}}(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}\dot{c}}=0,\epsilon^{\dot{a}\dot{c}}\epsilon_{\dot{a}\dot{c}}=-2\)を用いた.

同じように(16)式に\(\epsilon^{ac}\)を掛けて和を取ると

$$(S_R^{\mu\nu})_{\dot{a}\dot{c}}=\frac{i}{4}\epsilon^{ac}(\sigma_{a\dot{a}}^{\mu}\sigma_{c\dot{c}}^{\nu}-\sigma_{a\dot{a}}^{\nu}\sigma_{c\dot{c}}^{\mu})\tag{18}$$

となる.さらに

$$\overline{\sigma}^{\mu\dot{a}a}\equiv \epsilon^{ab}\epsilon^{\dot{a}\dot{b}}\sigma_{b\dot{b}}^{\mu}\tag{19}$$

と置くことでこれらの公式はエレガントに書ける.計算すると(19)式は

$$\overline{\sigma}^{\mu\dot{a}a}=(I,-\vec{\sigma})\tag{20}$$

である.この\(\overline{\sigma}^{\mu}\)を用いると(17-18)式は

\begin{align} (S_L^{\mu\nu})_a^{\ \ b}&=+\frac{i}{4}(\sigma^{\mu}\overline{\sigma}^{\nu}-\sigma^{\nu}\overline{\sigma}^{\mu})_a^{\ \ b},\tag{21}\\ (S_R^{\mu\nu})^{\dot{a}}_{\ \ \dot{b}}&=-\frac{i}{4}(\overline{\sigma}^{\mu}\sigma^{\nu}-\overline{\sigma}^{\nu}\sigma^{\mu})^{\dot{a}}_{\ \ \dot{b}}\tag{22}\end{align}

と書ける.ここで,(22)式ではドットなしの添字を\(^c_{\ \ c}\)と縮約,(21)式ではドット付きの添字が\(_{\dot{c}}^{\ \ \dot{c}}\)で縮約していることが省略されている.

この表記を拡張して縮約を取っているスピノル添字は省略することを考えよう.つまり,縮約したドットなしの添字を省略する場合は\(^c_{\ \ c}\)の形,縮約したドット付きの添字を省略する場合は\(_{\dot{c}}^{\ \ \dot{c}}\)の形であると約束しよう.したがって,\(\chi\)と\(\psi\)が左手型のWeyl場のとき

$$\chi\psi=\chi^a\psi_a,\ \ \chi^{\dagger}\psi^{\dagger}=\chi_{\dot{a}}^{\dagger}\psi^{\dagger\dot{a}}\tag{23}$$

と解釈するわけである.

スピン\(\frac{1}{2}\)の粒子を表すWeyl場はフェルミオンであるから反可換である.つまり,

$$\chi_a(x)\psi_b(y)=-\psi_b(y)\chi_a(x)\tag{24}$$

である.したがって,(23)式より

$$\chi\psi=\chi^a\psi_a=-\psi_a\chi^a=\psi^a\chi_a=\psi\chi\tag{25}$$

が成り立つ.よって,\(\chi\psi=\psi\chi\)となり,これはこの表記の良い点である.さらにエルミート共役を取ると

$$(\chi\psi)^{\dagger}=(\chi^a\psi_a)^{\dagger}=(\psi_a)^{\dagger}(\chi^a)^{\dagger}=\psi_{\dot{a}}^{\dagger}\chi^{\dagger\dot{a}}=\psi^{\dagger}\chi^{\dagger}\tag{26}$$

である.つまり,添字を気にせず,\((\chi\psi)^{\dagger}=\psi^{\dagger}\chi^{\dagger}\)と計算してよいわけである.もちろん,(25)式と同様に考えることで\(\psi^{\dagger}\chi^{\dagger}=\chi^{\dagger}\psi^{\dagger}\)とわかる.

添字を省略すると場が左手型なのか右手型なのかわからなくなってしまう.そこで,右手型の場はつねに左手型の場のエルミート共役として表すことにする.つまり,ダガーのあるなしで左手型なのか右手型なのか区別するわけである.

例えば

$$\psi^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\chi=\psi_{\dot{a}}^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu \dot{a}c}\chi_c\tag{27}$$

である.あらわにはベクトル添字しか書かないわけであるがローレンツ変換でもベクトルのように変換する.

$$U(\Lambda)^{-1}[\psi^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\chi]U(\Lambda)=\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu}[\psi^{\dagger}\overline{\sigma}^{\nu}\chi]\tag{28}$$

(27)式でエルミート共役を取ると

\begin{align} [\psi^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\chi]^{\dagger}&=[\psi_{\dot{a}}^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu \dot{a}c}\chi_c]^{\dagger}\\ &=\chi_{\dot{c}}^{\dagger}(\overline{\sigma}^{\mu a\dot{c}})^*\psi_a\\ &=\chi_{\dot{c}}^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu \dot{c}a}\psi_a\\ &=\chi^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\psi\tag{29}\end{align}

ここで,\(\overline{\sigma}^{\mu}=(I,-\vec{\sigma})\)より,\((\overline{\sigma}^{\mu a\dot{c}})^*=\overline{\sigma}^{\mu \dot{c}a}\)を用いた.

次の章以降でこの表記に慣れていこう.

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