JJMO予選2019問7


答え\(\cdots171\times7^{1008}\)

【分析】
まず、意識すべきは平方数⇔正の約数の個数は奇数という基本的な事実でしょう。
これにより、\(d(n^2)=d(n^2+7^{2019})=(奇数)\)であるので、\(n^2+7^{2019}\)は平方数となります。
∴\(\ \)自然数\(k\)を用いて

$$n^2+7^{2019}=k^2\cdots①$$とおくことで機械的に解決していきましょう。
文字を使って機械的に解けることから、学年が上の人ほど有利な問題だったかもしれません。

【略解】
$$①⇔k^2-n^2=7^{2019}⇔(k+n)(k-n)=7^{2019}$$
∴\(\ \)これの自然数解は
\begin{eqnarray}k+n&=&7^{2019-a}\\ k-n&=&7^a\ (a=0,1,\cdots,1009)\end{eqnarray}より、
\begin{eqnarray} k&=&\frac{7^{2019-a}+7^a}{2}\\
n&=&\frac{7^{2019-a}-7^a}{2}\ \ \ (a=0,1,…,1009)\end{eqnarray}

(あとは、\(n\)が小さい順に条件を満たすものを調べていくと…)
\(a=1009\)のとき、
\begin{eqnarray} k&=&\frac{7^{1010}+7^{1009}}{2}=8×7^{1009}÷2=2^2×7^{1009}\\
n&=&\frac{7^{1010}-7^{1009}}{2}=6×7^{1009}÷2=3×7^{1009}\end{eqnarray}
より、\(d(n^2)\not =d(k^2)\)

\(a=1008\)のとき、
\begin{eqnarray}k&=&\frac{7^{1011}+7^{1008}}{2}=344×7^{1008}÷2=2^2×43×7^{1008}\\
n&=&\frac{7^{1010}-7^{1008}}{2}=342×7^{1008}÷2=3^2×19×7^{1008}\end{eqnarray}
より、\(d(n^2)=d(k^2)\)となり、条件を満たす。
よって、求める\(n\)は\(\frac{7^{1011}-7^{1008}}{2}=171×7^{1008}\)

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です