JJMO予選2019問8


答え\(\cdots518\)通り


【分析】
下手に数え上げても時間をかければ解けてしまう問題です。予選通過の境目になりうる1問でしょう。
「\(a+2b+3c+4d\)が6の倍数のときは条件を満たす\(e\)は存在せず、\(a+2b+3c+4d\)が6の倍数じゃないときは条件を満たす\(e\)がただ1つ存在する」\(\cdots①\)
ということに気づけば、求める個数は\(a+2b+3c+4d\)が6の倍数じゃないものの個数に一致しますから、逆に、\(a+2b+3c+4d\)が6の倍数となるものの個数を求めれば答えがわかります。
しかしそれは同様のからくりで考えれば、
「\(2b+3c+4d\)が6の倍数のとき\(a+2b+3c+4d\)が6の倍数となるaは存在せず、\(2b+3c+4d\)が6の倍数じゃないとき\(a+2b+3c+4d\)が6の倍数となる\(a\)がただ1つ存在する」\(\cdots②\)
という事実を用いれば結局、\(2b+3c+4d\)が6の倍数じゃないものの個数を求める、逆に言えば、\(2b+3c+4d\)が6の倍数となるものの個数を求めればよいとわかります。
このようにやれば、かなりラクに求められますね。

【略解】
\(2b+3c+4d\)が6の倍数となるものの個数を求める。
\(2b+3c+4d\)が6の倍数\(⇔2(b+2d)+3c\)が6の倍数\(⇔b+2d\)が3の倍数かつ\(c\)が偶数\(⇔(b,d)=(1,1),(1,4),(2,2),(2,5),(3,3),(4,1),(4,4),(5,2),(5,5)\)かつ\(c=2,4\)
より、\(2b+3c+4d\)が6の倍数となる\(b,c,d\)の決め方は\(9\times2=18\)通り
∴\(2b+3c+4d\)が6の倍数とならないようなb,c,dの決め方は\(5^3-18=107\)通り
∴\(\ \)②より、\(a+2b+3c+4d\)が6の倍数となる\(a,b,c,d\)の決め方も\(107\)通り
∴\(\ a+2b+3c+4d\)が6の倍数とならない\(a,b,c,d\)の決め方は\(5^4-107=518\)通り
∴\(\ \)①より、\(a+2b+3c+4d+5e\)が6の倍数となる\(a,b,c,d,e\)の決め方は\(518\)通り

1 thought on “JJMO予選2019問8

  1. 名も無き数学好き

    この問題は、その様な変形をせずともmod6
    の表をしっかり書くとa+2b+4e+5dが3の倍数になるときと、6の倍数になるときを求めればよいことが分かるので、(a,5d)(2b,4d)のmod6の足し算の表を書くと、
    (9×5+8×4+8×4)×2+(9×4+8×4+8×4)×3=518
    で簡単に求められます。

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