JMO予選2019問3

答え\(\cdots 32通り\)

【分析】

予選通過を考えたらこの問題は落とせないですね。ですが、真面目に場合分けすれば間違えない問題なので一つ一つ丁寧にやりましょう。この問題の鍵はやはり、隣り合う2マスは差が3以下ということでしょう。これより、なんとなく、1と9は近いとダメだななどと思うでしょうか。もっとまじめには右下が1であれば下図の赤ゾーンに8,9が入れないということでしょうか。

【略解】

満たすべき条件は差に関するものなので大小の入れ替え(\(1↔9,\ 2↔8,\ 3↔7,\ 4↔6\))により、正しいものは正しいものに移る。よって、1,9の片方は右上、右下、左上、左下のどこかに入るから(そうでないと条件を満たせない)1が右下にあるとして数えよう。のちに大小の入れ替えと回転についても考える。このとき、次の(i),(ii)の場合がある。

(i)のとき

中上が9のときを考える。このとき、9の近傍2マスには2は入れないから左下は2となる。また、8は1の近傍2マスに入れず、2の近傍1マスに入れないから左上は8である。さらに2,8の間には5しか入れず、1,7の間には4しか入れないことを踏まえると右上は7。さらに右中は4であり、1の隣に6は書けないから中央は6で中下は3。(文章で書くとわかりづらいので自分で確認しましょう。)

1が右下で9が左中のとき、また1が右上、左上、左下のとき、さらに大小の入れ替えのパターンがあるから、(i)では$$1\times 2\times 4\times 4=16通り$$

(ii)のとき

2,8の間には5のみが書けるので中下を2、中上を8とする。このとき、中央は5となる。さらに右中は3,4のどちらである。

(あ)右中が3のとき

このとき、右上は6であり、左下が4、左中が7とわかる。

(い)右中が4のとき

このとき、左下は3で、左中は6、右上は7とわかる。

さらに1,9の場所が同じで右中が2、左中が8のときと、1が右上、左上、左下のときがあるので(この場合は大小の入れ替えで同じものが出てきます)$$2\times 2\times 4=16通り$$

よって、(i),(ii)を合わせて$$16+16=32通り$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です