JMO予選2019問8


答え\(\cdots \frac{81+9\sqrt{13}}{16}\)

【分析】
正しい図を書くことが最難関という問題です。

はじめにこのような図を書いてしまうと、このままでは永遠に解けません。\(AB,AC,BC\)と内接円との接点を\(S,T,U\)とすれば、\(\triangle ASI\equiv\triangle ATI\)および\(\triangle DSI\equiv \triangle ETI\)から、\(\angle AIS=\angle AIT,\ \angle DIS=\angle EIT\)となり、これより、\(\angle AID=\angle AIE\)となります。
しかし、これは緊急事態です。これより、\(\triangle AID\equiv\triangle AIE\)ということになるので、\(AD=AE\)となり、\(AB=AC\)となってしまう。つまり、\(AB>AC\)という仮定に反してしまうのです!
ここで問題不備だと思ったり、何か大きな勘違いをしているがその正体がわからず投げ出した人も多いようですが、これは、正三角形の下側に接点があることにより起きる問題なので、片方の接点が正三角形の上側に来るような図を描いてみましょう。
ここまでくれば、あとはわかることを整理していくだけでこの問題は解けてしまいます。

【略解】
\( AD=x,\ AE=y\)とおく。接線の長さより\(AS=AT\)だが、\( \triangle SDI\equiv\triangle TEI\)より、\(DS=TE\)なので
$$AS+AT=AD+AE=x+y$$となることを加味して、\begin{eqnarray}AS&=&AT=\frac{x+y}{2}\\
∴\ DS&=&TE=\frac{x-y}{2}\end{eqnarray}
接線の長さより
\begin{eqnarray} BU&=&BS=8x+\frac{x-y}{2}=\frac{17x}{2}-\frac{y}{2}\\
CU&=&CT=8y-\frac{x-y}{2}=-\frac{x}{2}+\frac{17y}{2}\end{eqnarray}
これを足し合わせて、\(BC=8(x+y)\)
ここで、\(BC//DE\)より、\(BC=9DE=9\)なので、$$x+y=\frac{9}{8}\cdots①$$

(もう1つ、\(x,y\)の関係式を探すと…)
\(\triangle SDI\equiv\triangle TEI\)より、\(\triangle SDI=\triangle TEI\)から、\(ADIE\)は円に内接する四角形なので、\(\angle DAE=180^{\circ}-\angle DIE=120^{\circ}\)
\(∴\ \triangle ADE\)で余弦定理より、
$$x^2+y^2+xy=1\cdots②$$
①②より、$$xy=(x+y)^2-(x^2+y^2+xy)=\frac{81}{64}-1=\frac{17}{64}\cdots③$$
①③と\(x>y\)より、\(x\)は\(t^2-\frac{9}{8}t+\frac{17}{64}=0\)の解のうち、大きい方で、\(x=\frac{9+\sqrt{13}}{16}\)
$$∴\ AB=9x=\frac{81+9\sqrt{13}}{16}$$

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