JMO本選2019問1

答え\(\cdots (a,b,c)=(2,2,1)\)

【分析】

問1ということで絶対に落とせない問題ですね。このような問題は適当に数字を代入してみてどのような数だと方程式が成り立つのかを考察していきましょう。そのようにすると簡単に答えである\((a,b,c)=(2,2,1)\)は発見できますし、左辺は平方数なので\(b+3\)は\(2a+1\)以上であり、\(a\)が大きいと右辺が全然大きいという感覚もつかめるでしょうか。なので、今回は\(a\)を上から押さえて有限個だけ調べるという整数問題での定石で倒していきましょう。

【略解】

$$a^2+b+3=(b^2-c^2)^2\cdots☆$$

☆の左辺は平方数なので\((a+n)^2\)としますと

$$(a+n)^2=a^2+b+3\\ ∴b=2an+n^2-3$$

\(c\)が変化すると☆は右辺しか変化せず、右辺が最小となるのは\(c=b-1\)のときで

\begin{eqnarray}(b^2-c^2)^2&=&\left((2an+n^2-3)^2-(2an+n^2-4)^2\right)^2\\&=&(4an+n^2-7)^2\end{eqnarray}

これが最小なのですべての\(n\)に対して

$$4an+n^2-7>a+n\cdots ①$$

が成り立つような\(a\)は考える必要がないとわかります。さらに、

$$(①の左辺)-(①の右辺)=n^2+(4a-1)n-7-a$$

なので\(n=1\)で①が成り立てばすべての自然数\(n\)で①が成り立つとわかり、①に\(n=1\)を代入すると

\begin{eqnarray} 4a-6&>&a+1\\ 3a&>&7
\end{eqnarray}

なので\(a\)が3以上は考える必要がないとわかります。よって、あとは\(a=1,2\)のときを考えればよく、

\((i)a=1\)のとき

①に\(a=1\)を代入すると

$$n^2+3n-8>0$$

となり、この不等式を満たさないのは\(n=1\)のときのみでこのとき\(b=0\)となるので不適。

\((ii)a=2\)のとき

①に\(a=2\)を代入すると

$$n^2+7n-9>0$$

となり、この不等式を満たさないのは\(n=1\)のときのみ。このとき、\(b=2,c=1\)とすれば☆を満たす。

よって、☆を満たすのは\((a,b,c)=(2,2,1)\)のときのみ。

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