JMO予選1990問2

\begin{eqnarray}x^2+25x+52=3\sqrt{x^2+25x+80}\cdots①\end{eqnarray}

の全ての実数解の積を求めよ。

【思考・方針】

①はルートのついた方程式ですから両辺2乗してルートを消しましょう。しかし、それだと大変な4次方程式になってしまいそうですが、\(x^2+25x\)をひとかたまりだと思えば実質2次方程式です。そうすれば方程式が解けそうですから解いてしまいましょう。

簡単のため、\(x^2+25x+52\)をひとかたまりとみて、\(t\)とおきます。①を2乗すると、

\begin{eqnarray}&&t^2=9(t+28)\\ &\Leftrightarrow& t^2-9t-9\times28=0\\ &\Leftrightarrow&(t-21)(t+12)=0\\ &\Leftrightarrow&t=21,-12 \end{eqnarray}

が得られます。ここで、ルートのついた方程式について注意が必要なのは、2乗したら同値変形が崩れる(余計なものまで出てきてしまう)ということです。ルートの同値変形の基本

\begin{eqnarray}A=\sqrt{B}\Leftrightarrow A^2=BかつA\ge 0\end{eqnarray}

を意識すると実は\(t\ge 0\)という条件を付け加える必要があるので、\(t=21\)となります。よって①の解は

\begin{eqnarray}x^2+25x+52=21\Leftrightarrow x^2+25x+31=0\end{eqnarray}

の解であり、(判別式)\(=25^2-4\times31>0\)からこれは異なる2つの実数解を持つので求める実数解の積は解と係数の関係より、\(31\)となりますね。

これは比較的、大学受験的な問題ですし落としたくないですね。もう少し数学オリンピックぽさのあるルートのついた方程式の難問を見てみましょう。

Q.

\begin{eqnarray}x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2\cdots①\end{eqnarray}

を満たす正の実数\(x\)を求めよ。(JJMO予選2015問7)

【略解】

問7という問題が解けるかどうかは予選通過出来るか否かに大きく関わってくることが多い問題です。みなさんは解けましたでしょうか。

まず、気づかなければならないことは、ルートがたくさんついているので、対称性(?)をよくするために\(x=\sqrt{x}\sqrt{x}\)とみると、

\begin{eqnarray}①\Leftrightarrow(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})(\sqrt{x}+\sqrt{x+2})=2\end{eqnarray}

のよう、因数分解できるということです。ここに気付くのが第一段階でしょう。ここからはルートの個数を減らしていくことを考えます。

有理化の要領で両辺に\(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\)をかけることにより、

\begin{eqnarray}2(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})=2(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})\end{eqnarray}

となり、整理すると

\begin{eqnarray}2\sqrt{x}=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\end{eqnarray}

となりますから、両辺2乗すればルートが1個に減らせます!

\begin{eqnarray}&&4x=x+2+x+1-2\sqrt{x+1}\sqrt{x+2}\\ &\Leftrightarrow&3-2x=2\sqrt{x+1}\sqrt{x+2}\end{eqnarray}

さらに両辺を2乗すれば、

\begin{eqnarray}&&4x^2-12x+9=4(x+1)(x+2)\\ &\Leftrightarrow&24x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{24}\end{eqnarray}

となりますね!途中で2乗してしまったことや計算ミスをしてないかの確認などの意味を込めて代入して確かめておくと、

\begin{eqnarray}\frac{1}{24}+\frac{5}{24}+\frac{7}{24}+\frac{35}{24}=2\end{eqnarray}

のように、\(x=\frac{1}{24}\)が解となっていることが確認できます。

なんにせよ、因数分解さえできれば、ルートを消していくという単純作業で解けてしまいました!

このようなA分野(代数)の問題は競技数学の中では比較的、勉強量が点数に結び付きやすい分野かもしれませんね。

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