JMO予選1990問3

\(A^2\)の下三桁が\(0\)でない全て同じ数になるという.そのような自然数\(A\)のうち,最小のものを求めよ.

【思考・方針】

皆さん気づきました?\(\ \)僕は,「\(144\)も\(1444\)も平方数」というのを耳にしたことがあったので,どうせ,\(\sqrt{1444}=38\)が答えだろうと思った結果,こんな解答になりました.

\(111,222,\cdots,999\)は\(37\)の倍数だが\(37^2\)の倍数ではないので,平方数でない.

\(1111=11\times101\)は平方数でない.

また,\(\ \)(調べれば簡単にわかるよう,)\(\ \)一の位が\(2,3\)の平方数はありませんから,\(1222,1333\)でない.そして,\(1444=38^2\)より\(38\)が答え.

しかし,まさかこんなに早く平方数が登場するなんて思わなかった!という人もいるでしょうから,他の視点から答えを探っていきましょう.

上の解答にもあったよう,平方数の一の位は限られるので,

$$A^2の下3桁は111,444,555,666,999\cdots①$$

にしぼられます.さらに,整数問題では\(mod\)を考える,特に

$$『平方数を3や4で割った余りは0か1』$$

は平方数の問題の定石です.(知らなかった人は確かめてみましょう.)

今回は\(mod\ 4\)で考えれば,(4で割った余りは下二桁で見抜けますから)\(\ \)①の中で\(4\)で割った余りが\(0\)か\(1\)のものを考えれば,\(A^2\)の下三桁は\(444\)で確定です.

候補は\(1/10\)に絞り込めましたから,\(1444,2444\cdots\)の中から平方数を探すと,いきなり\(1444=38^2\)がみつかってしまうというわけです.

ここまで来ると,次のような疑問が出てきます.

Q.\(\ \ \)下四桁が\(0\)以外のぞろ目であるような平方数は存在するか.

【略解】

上の議論により,下三桁の時点で\(4\)のぞろ目しかありえません.下手に\(mod\)とか考えず,まずは素朴に文字でおいてみましょう.下四桁が\(4444\)の平方数が存在する,つまり,

$$n^2=10000a+4444\cdots①\ \ (n,aは自然数)$$

とします.

すると,\(n\)は偶数ですから,自然数\(m\)を用いて\(n=2m\)と表せ,これを①に代入すると,\(m^2=2500a+1111\)となりますが,これは下二桁が\(11\)の平方数,つまり\(4\)で割った余りが\(3\)の平方数が存在することとなり矛盾です.

∴\(\ \)下四桁が\(0\)以外のぞろ目となる平方数は存在しないことが示せました!

皆さんもお友達に,「\(144,1444\)は平方数だから\(14444\)も平方数なんだ!」とか言ってる人がいたら,注意してあげてくださいね.

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