JMO予選1990問4

\(3\)人の力士\(A,B,C\)が「巴戦」をする.すなわち,まず,\(A,B\)の二人が\(1\)回戦目を行い,\(2\)回戦目以降は前の戦いで勝った人と前の戦いで戦わなかった人が戦う.\(2\)連勝した力士を優勝とする.\(7\)回戦行った上で,\(2\)連勝した力士がいなかった場合は優勝者なしとする.どの力士も各々の戦いで勝つ確率は\(1/2\)として,\(1\)回戦目で負けた力士が優勝する確率を求めよ.

【思考・方針】

大学入試にもよく出題される「巴戦」です.一度この手の問題を経験したことがある,もしくは,日頃から巴戦に親しんでいれば,パターンが実はほぼないことを知っているので楽勝ですし,知らない人も,樹形図を試しに書いてみれば,全然枝分かれしない様子がわかるでしょう.

簡単のため,\(1\)回戦目は\(A\)が勝ったとしましょう.すると

2回戦\(A\)vs\(C\)→\(A\)優勝or\(C\)が勝ち,続行

3回戦\(C\)vs\(B\)→\(C\)優勝or\(B\)が勝ち,続行

4回戦\(B\)vs\(A\)→\(B\)優勝or\(A\)が勝ち,続行

5回戦\(A\)vs\(C\)→\(A\)優勝or\(C\)が勝ち,続行

6回戦\(C\)vs\(B\)→\(C\)優勝or\(B\)が勝ち,続行

7回戦\(A\)vs\(B\)→\(B\)優勝or\(A\)が勝つ

のよう,試合のパターンや各々が優勝するタイミングというのは限られています.

∴\(\ B\)が優勝する確率は\(4\)回戦目で優勝する確率と\(7\)回戦目で優勝する確率を足し合わせ,

\begin{eqnarray}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{9}{64}\end{eqnarray}

です.\(A\)が\(1\)回戦目で負けた場合も同様ですから,\(1\)回戦目で負けた力士が優勝する確率は,

\begin{eqnarray}\frac{9}{64}\times2=\frac{9}{32}\end{eqnarray}

ですね!

むしろ気になるのは次のような疑問でしょうか.

Q.\(\ \ \)今の問題に対し,\(7\)回戦目でおしまいにせず,誰かが優勝するまで勝負を続けるとき,最初に戦う力士と最初に戦わない力士はどちらが有利か?

【略解】

\(n\)回やって勝負がつかない確率は\(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)ですから,\(n\to\infty\)とすると\(0\)となるので,優勝者が決まらない確率は\(0\)と見なせます.

\(1\)回戦目で戦わなかった\(C\)が優勝する確率は,\(1\)回戦目のみはどちらが勝ってもいいことに注意して,無限等比級数の公式より,

\begin{eqnarray}&&(3回戦目で優勝が決まる確率)+(6回戦目で優勝が決まる確率)+\cdots\\ &=&\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^5+\left(\frac{1}{2}\right)^8+\cdots=\left(\frac{1}{4}\right)÷\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{2}{7}\end{eqnarray}

となります!そして,\(A\)と\(B\)の条件の対等性から,\(A\)が優勝する確率も\(B\)が優勝する確率も同じですから,\(\left(1-\frac{2}{7}\right)÷2=\frac{5}{14}\)となりますね.

これにより,\(A,B,C\)の優勝する確率の比は\(5:5:4\)となりました!\(C\)さんは若干不利なのですね.

ちなみに,\(A\)が\(B\)に勝った状態で次の試合を迎えるとき,\(A,B,C\)の優勝確率はそれぞれ,

\begin{eqnarray}&&\left(\frac{1}{2}\right)^1+\left(\frac{1}{2}\right)^4+\left(\frac{1}{2}\right)^7+\cdots\\ &=&\left(\frac{1}{2}\right)÷\left(1-\frac{1}{8}\right)\\ &=&\frac{4}{7}\\ &&\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^6+\left(\frac{1}{2}\right)^9+\cdots\\ &=&\left(\frac{1}{8}\right)÷\left(1-\frac{1}{8}\right)\\ &=&\frac{1}{7}\\ &&\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^5+\left(\frac{1}{2}\right)^8+\cdots\\ &=&\left(\frac{1}{4}\right)÷\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{2}{7}\end{eqnarray}

となりますね.つまり,巴戦では,

  • 直前の勝負に対して勝った人,戦わなかった人,負けた人の優勝確率の比は\(4:2:1\)
  • \(1\)回戦目で戦わない人は若干不利

ということがわかります.

皆さんも,巴戦をやるときは意地でも\(1\)回戦目に出場するようにしましょうね!

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