JMO予選1990問7

\( A=4^{27}+4^{500}+4^{n}\) が平方数となる最大の自然数\(n\)を求めよ.

【思考\(\cdot\)方針】

平方数の問題で意識すべきは,

\(\cdot\ mod\ 3,mod\ 4\)を考えてみる

の他に,

\(\cdot \ \)平方数同士をかけても平方数

\(\cdot\ \)割りきれるなら,平方数を平方数でわっても平方数

といった「当たり前」や,

\(\cdot\ \)隣り合う平方数同士の差は(\(3,5,7,9,\cdots\)のよう)どんどん大きくなっていく

\(\cdot\ \)隣り合う平方数の間に平方数はない

などの不等式的な見方も重要です.今回はこのような考え方が活躍する問題です.

まず,「最大の自然数\(n\)」なんてそもそも存在するの?と思った人もいるかもしれませんが,これは不等式的に見れば明らかです.\(4^n=(2^n)^2\)は平方数ですから,それに定数\(4^{27}+4^{500}\)を加えても平方数となるには,あまりに\(n\)が大きすぎると,次の平方数\((2^n+1)^2\)にすらたどり着かなくなってしまいます.

(逆に,\(n\)が小さすぎても,\(4^{500}\)の次の平方数に\(A\)が満たないことになりますね.)

\(A\)は偶数ですから,\((2^n+1)^2\)にはならないので,少なくとも\(A\)は\((2^n+2)^2\)以上じゃなければなりません.もしも,\(A\)が\((2^n+2)^2\)に一致すれば答えな気もしますが,残念ながら

$$4^{27}+4^{500}=2^{n+2}+4$$

となり,\(n\)が求まりません.

ここで,\(4^{27}\)が\(4\)だったらなぁ\(\cdots\)と思うわけですが,じゃあ\(4\)にしてしまいましょう.

先ほども言ったよう,\(n\)はある程度は大きい.少なくとも\(27\)よりは大きそうですから,\(n\ge27\)範囲で答えを探ると,\(A\)を\(4^{26}\)でわった,\(4+4^{474}+4^{n-26}\)も平方数のはずです.そしてこれが平方数なのは,少なくとも,\(4^{n-26}=(2^{n-26})^2\)の次の偶数の平方数\((2^{n-26}+2)^2\)以上のとき.

\begin{eqnarray}&∴&4+4^{474}+4^{n-26}\ge(2^{n-26}+2)^2\\ &\Leftrightarrow&4^{474}\ge2^{n-24}\\ &\Leftrightarrow&2^{948}\ge2^{n-24}\\ &\Leftrightarrow&948\ge n-24\Leftrightarrow n\le972\end{eqnarray}

となり,\(n\)が上から押さえられ,しかも,等号が成り立つとき,

$$A=4^{27}+4^{500}+4^{n} =4^{26}(4+4^{474}+4^{n-26})=4^{26}(2^{946}+2)^2$$

となり,平方数となるとわかりましたから,求める\(n\)は\(972\)ですね!

答えだけでなく,真面目な不等式の論証も同時にやったので,少し複雑でしたが,もう1問,似たような考え方が鍵となる問題をみてみましょう.難問です.

Q.\(\ \ 2n^2+1,3n^2+1,6n^2+1\)が全て平方数となる自然数\(n\)は存在しないことを示せ.

(JMO本選2004年問1)

【略解】

難問でしたがいかがでしょうか.このような自然数\(n\)が存在したとします.全て平方数ということはかけても平方数です.しかし,6次式と平方数は相性が微妙なので,さらに\(n^2\)をかけて,8次式にしてしまいましょう.

\begin{eqnarray}&&n^2(2n^2+1)(3n^2+1)(6n^2+1)\\ &=&(6n^4+5n^2+1)(6n^4+n^2)\cdots① \end{eqnarray}

これが平方数となるかどうかですが,これは隣り合う平方数で挟めそうです!

\begin{eqnarray}①&=&36n^8+36n^6+11n^4+n^2\\ (6n^4+3n^2)^2&=&36n^8+36n^6+9n^4\cdots②\\ (6n^4+3n^2+1)^2&=&36n^8+36n^6+15n^4+6n^2+1\cdots③ \end{eqnarray}

より,①は隣り合う平方数②,③の間にあるので,平方数でなくなってしまいました!

よって,条件を満たす自然数$n$は確かに存在しませんね!

やってること自体は簡単だけど思いつくのは難しい.数学オリンピックらしい1問ですね.僕は強くこの問題が印象に残っているのですが,皆さんの「印象に残る1問」に追加されたら嬉しいです.

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