2..ローレンツ不変量

ローレンツ変換

$$\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu}x^{\nu}\tag{1}$$

を考える。この変換では原点と\(x^{\mu}\)との距離を保存する。つまり、

$$x^2\equiv x^{\mu}x_{\mu}=g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}={\bf{x}}^2-c^2t^2\tag{2}$$

なので、

\begin{eqnarray}g_{\mu\nu}\bar{x}^{\mu}\bar{x}^{\nu}&=& g_{\mu\nu}\Lambda ^{\mu}_{\ \ \rho}x^{\rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}x^{\sigma}\\ &=&
g_{\mu\nu}\Lambda ^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}
x^{\rho} x^{\sigma}\\ &=& g_{\rho\sigma}x^{\rho}x^{\sigma}\end{eqnarray}

より、

$$g_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}=g_{\rho\sigma}\tag{3}$$

が成り立つことが分かる。ここで

$$g_{\mu\nu}=
\left( \begin{array}{cccc} -1 & & & \\ & +1 & & \\ & & +1& \\ &&&+1 \end{array} \right) \tag{4}$$

はミンコフスキー計量である。

ローレンツ変換には普通の空間回転も含まれることに注意しよう。

ローレンツ変換の集合は群を成す。逆元だけ確認しよう。(3)式から変形すると

\begin{eqnarray}
g_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ \alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}&=&g_{\alpha\sigma}\\ \Lambda_{\nu\alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}&=&g_{\alpha\sigma}\\
g^{\alpha\rho}\Lambda_{\nu\alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}&=&g^{\alpha\rho}g_{\alpha\sigma}\\ \Lambda_{\nu}^{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}&=&\delta^{\rho}_{\ \ \sigma}\end{eqnarray}

となる。また、定義から

$$(\Lambda^{-1})^{\rho}_{\ \ \nu}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}=\delta^{\rho}_{\ \ \sigma}$$

なのでこれを比べて、

$$(\Lambda^{-1})^{\rho}_{\ \ \nu}=\Lambda_{\nu}^{\ \ \rho}\tag{5}$$

と表されることが分かる。(3)式から

$$g^{\mu\nu}\Lambda^{\rho}_{\ \ \mu}\Lambda^{\sigma}_{\ \ \nu}=g^{\rho\sigma}\tag{6}$$

ともわかる。

微小ローレンツ変換を

$$\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu}=\delta^{\mu}_{\ \ \nu}+\delta\omega^{\mu}_{\ \ \nu}\tag{7}$$

と表すことにしよう。このとき、Problem2.1より

$$\delta\omega_{\rho\sigma}=-\delta\omega_{\sigma\rho}\tag{8}$$

が成り立つ。よって、

\begin{eqnarray} \Lambda = \left(\begin{array}{cccc} 1 & \omega_{12} &\omega_{13} & \omega_{14} \\ -\omega_{12} & 1 & \omega_{23} & \omega_{24} \\ -\omega_{13} & -\omega_{23} & 1 & \omega_{34} \\ -\omega_{14} & -\omega_{24} & -\omega_{34} & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray}

と表せるのでローレンツ変換には6つの独立な微小変換がある。そのうち3つは空間回転であり、残り3つはブーストに対応している。

(5)より、ローレンツ変換の逆行列は元の行列の転置行列になるので\(\det\Lambda=\pm1\)が成り立つ。ローレンツ変換\(\Lambda\)が\( \det\Lambda=+1 \)を満たすときproper, \( \det\Lambda=-1 \)を満たすときimproperという。明らかにproperなローレンツ変換の集合はローレンツ群の部分群を成す。また、単位元と弧状連結なので微小変換で表されるローレンツ変換はproperである。

また、(3)で\(\rho=\sigma=0\)を代入することで

\begin{eqnarray}g_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ 0}\Lambda^{\nu}_{\ \ 0}=g_{00}&=&-1\\-(\Lambda^0_{\ \ 0})^2+(\Lambda^1_{\ \ 0})^2+(\Lambda^2_{\ \ 0})^2+(\Lambda^3_{\ \ 0})^2&=&-1\\(\Lambda^0_{\ \ 0})^2=1+(\Lambda^1_{\ \ 0})^2+(\Lambda^2_{\ \ 0})^2+(\Lambda^3_{\ \ 0})^2&\ge&1\end{eqnarray}

なのでローレンツ変換\(\Lambda\)は\(\Lambda^0_{\ \ 0}\ge1\)か\(\Lambda^0_{\ \ 0}\le -1\)のどちらかである。前者のローレンツ変換はorthochronousといい、これまた、連結性からproperかつorthochronous なローレンツ変換はローレンツ群の部分群を成す。微小変換で作ることができる群はこの群であり、通常、ローレンツ不変と言ったら、この群での変換しか考えない。

これ以外のローレンツ変換はパリティ変換や時間反転変換をすることにより、移ることができる。

\begin{eqnarray} P^{\mu}_{\ \ \nu}=(P^{-1})^{\mu}_{\ \ \nu} = \left(\begin{array}{cccc} +1 & & & \\& -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{array} \right)\tag{9}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} T^{\mu}_{\ \ \nu}=(T^{-1})^{\mu}_{\ \ \nu} = \left(\begin{array}{cccc} -1 & & & \\& +1 & & \\ & & +1 & \\ & & & +1 \end{array} \right)\tag{10}\end{eqnarray}

これらの離散変換については23章で詳しく述べる。

ローレンツ群のユニタリ表現\(U(\Lambda)\)を考えよう。(定義表現である\(\Lambda\)はユニタリ表現ではない。)\(U(\Lambda)\)はユニタリ演算子であり、表現であるから

\begin{eqnarray}U(\Lambda^{\prime}\Lambda)=U(\Lambda^{\prime})U(\Lambda)\tag{11}\end{eqnarray}

を満たす。さらに微小変換に対するユニタリ変換を

\begin{eqnarray}U(1+\delta\omega)=I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\tag{12}\end{eqnarray}

とおく。ここで、\(\delta\omega_{\mu\nu}\)は反対称だから\(M^{\mu\nu}\)も反対称として一般性を失わない。また、\(U\)のユニタリ性より

\begin{eqnarray}&&U(1+\delta\omega)U^{\dagger}(1+\delta\omega)\\&=&\left(I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right)\left(I-\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\rho\sigma}M^{\dagger\rho\sigma}\right)\\&=&I\end{eqnarray}

なので\(M\)はエルミート演算子である。これがこの表現での生成子になる。

\(U(\Lambda)^{-1}U(\Lambda^{\prime})U( \Lambda)=U( \Lambda ^{-1} \Lambda ^{\prime} \Lambda )\)に\(\Lambda^{\prime}=1+\delta\omega^{\prime}\)を代入することで

\begin{eqnarray}\delta\omega_{\mu\nu}U(\Lambda)^{-1}M^{\mu\nu}U(\Lambda)=\delta\omega_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}M^{\rho\sigma}\tag{13}\end{eqnarray}

を得る。(Problem 2.2)さらに両辺で\(\delta \omega_{\mu\nu}\)は反対称の条件のもとで任意だから係数部分も反対称部分が等しい。ここでは\(M^{\mu\nu}\)はすでに反対称なので

\begin{eqnarray}U(\Lambda)^{-1}M^{\mu\nu}U(\Lambda)=\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}M^{\rho\sigma}\tag{14}\end{eqnarray}

が成り立つ。これが\(M^{\mu\nu}\)のローレンツ変換を与え、それぞれの添え字がベクトルのごとく変換するとわかる。これは一般的な性質であり、ベクトル添え字を持つ演算子は同じように変換する。例えば\(P^0=H\)とした4次元ベクトル\(P^{\mu}\)も

$$U( \Lambda)^{-1}P^{\mu}U( \Lambda )= \Lambda ^{\mu}_{\ \ \nu}P^{\nu} \tag{15}$$

のように変換する。

さらに、(14)で\(\Lambda=1+\delta\omega\)を代入して\(\delta\omega\)に比例する項だけを比べて交換関係

$$[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=i\hbar\left(g^{\mu\rho}M^{\nu\sigma}-(\mu\leftrightarrow\nu)\right)-(\rho\leftrightarrow \sigma)\tag{16}$$

を得る。(Problem 2.3)

この交換関係はローレンツ群のリー代数を与える。(ほかの表現でもこの交換関係は同じはずである!!(Problem 2.9が定義表現で交換関係を確かめよというもの))さらに角運動量の成分\(J_i\equiv \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}M^{jk}\)とブーストの成分\(K_i\equiv M^{i0}\)を用いて、交換関係を書き直すと

\begin{eqnarray}[J_i,J_j]&=&i\hbar\epsilon_{ijk}J_k,\\ \ [J_i,K_j]&=&i\hbar\epsilon_{ijk}K_k,\\ \ [K_i.K_j]&=&-i\hbar\epsilon_{ijk}J_k\tag{17}\end{eqnarray}

となる。(Problem2.4)一式目は角運動量のリー代数と一致している。二式目から空間回転でのブーストの変換がわかる。また、三式目からブーストはローレンツ群の部分群にはならないことがわかる。

さらに(15)に\(\Lambda=1+\delta\omega\)を代入することで

$$[P^{\mu},M^{\rho\sigma}]=i\hbar \left(g^{\mu\sigma}P^{\rho}-(\rho\leftrightarrow \sigma)\right)\tag{18}$$

を得る。(Problem 2.5)さらにうまい添え字を入れることにより

\begin{align} [J_i,H]&=0\\ [J_i,P_j]&=i\hbar \epsilon_{ijk}P_k\\ [K_i,H]&=i\hbar P_i\\ [K_i,P_j]&=i\hbar \delta_{ij}H \end{align}

と見やすいように変形できる.

さらに,\(P^{\mu}\)の成分は互いに交換すべきであるから

\begin{align}[P_i,P_j]&=0\\ [P_i,H]&=0 \end{align}

となる.(17),(18),(19)式はまとめてポアンカレ群のリー代数になっている.

スカラー場\(\varphi(x)\)がローレンツ変換の下でどのように変換するか見ておこう.ハイゼンベルグ描像において時間発展は

$$e^{iHt/ \hbar}\varphi({\bf{x}},0)e^{-iHt/\hbar}=\varphi({\bf{x}},t)\tag{21}$$

で行われた.これは相対論的には

$$e^{-iPx/\hbar}\varphi(0)e^{+iPx/\hbar}=\varphi(0)\tag{22}$$

と拡張されるべきである.ここで,\(Px=P^{\mu}x_{\mu}={\bf{P\cdot x}}-Hct\)である.さらに

$$T(a)\equiv \exp (-iP^{\mu}a_{\mu}/\hbar)\tag{23}$$

とすると

$$T(a)^{-1}\varphi(x)T(a)=\varphi(x-a)\tag{24}$$

と表すことができる.微小変換を考えると

$$T(\delta a)=I-\frac{i}{\hbar}\delta a_{\mu}P^{\mu}\tag{25}$$

である.(12)と(25)を比べると一般のローレンツ変換に対しても(24)のように

$$U(\Lambda)^{-1}\varphi(x)U(\Lambda)=\varphi(\Lambda^{-1}x)\tag{26}$$

と変換すると予期できる.さらに\(\varphi\)の微分は

$$U(\Lambda)^{-1}\partial^{\mu}\varphi(x)U(\Lambda)=\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\bar{\partial}^{\rho}\varphi(\Lambda^{-1}x)\tag{27}$$

のように変換する.ここで,上線は\(\bar{x}=\Lambda^{-1}x\)での微分を表す.さらにこれは

\begin{align} U(\Lambda)^{-1}\partial^2\varphi(x)U(\Lambda)&=
U(\Lambda)^{-1}g_{\mu\nu}\partial^{\mu}\partial^{\nu}\varphi(x)U(\Lambda)\\ &=g_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ \alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \ \beta}\bar{\partial}^{\alpha}\bar{\partial}^{\beta}\varphi(\Lambda^{-1}x)\\ &=g_{\alpha\beta}
\bar{\partial}^{\alpha}\bar{\partial}^{\beta}\varphi(\Lambda^{-1}x)\\ &=
\bar{\partial}^{2}\varphi(\Lambda^{-1}x) \tag{28}\end{align}

と拡張できる.これにより,1章で見たように Klein-Gordon 方程式がローレンツ不変であることがわかる.

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