第1問 

図の三角形ABDにおいて、AB=CDである。このとき、?は何度か?

(算数オリンピック1993ファイナル)

【方針1】

等しい長さがあるので三角形\(ABC\)と合同な三角形を用意してくっつけましょう。  

そうすると四角形\(ACED\)が等脚台形であることが分かりますので、錯覚定理より、

$$\angle ADC=\angle DCE=40^{\circ}$$

【方針2】

方針1と同様に三角形\(ABC\)と合同な三角形を用意する。しかし、ここでは方針1とは逆になるようにくっつける。

すると\(AC=CF\)なので三角形\(ACF\)は\(C\)を頂点とする二等辺三角形であり、

$$\angle CAF=\angle CFA=40^{\circ}$$

三角形\(CFG\)の外角を考えて、\(\angle CGA=70^{\circ}\)なので\(AC=AG\)

また、\(\angle BAG=\angle BGA=70^{\circ}\)なので三角形\(ABG\)は\(B\)を頂角とする二等辺三角形で\(AB=AG\)

よって、三角形\(ABG\)と三角形\(ADC\)において、

  • \(BG=DC\)
  • \(AG=AC\)
  • \(\angle AGB=\angle ACD\)

なのでニ辺夾角相当で\(\triangle ABG\equiv \triangle ADC\)

したがって、対応角から

$$\angle ADC=\angle ABG=40^{\circ}$$

とわかる。

このように同じような方針でもくっつけ方次第でそのあとの難易度が全然違うことがあるのでしっかり検討してからくっつけるようにしましょう!!

また、これ以外の別解があれば教えてください!!

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