JMO予選1991問1

\( A=999\cdots999(9が81個)\)とする。\(A^2\)の各位の和を求めよ。

【略解】

言われてみれば当たり前なのですが、一度経験しないと盲点になりがちなのが、\(A=10^{81}-1\)と表せるということです。これを用いれば、


$$ A^2=(10^{81}-1)^2=10^{162}-2\times 10^{81}+1=99\cdots9980\cdots0001$$


(\(9\)と\(0\)は\(80\)個ずつ)
となりますから、求める各位の和は
\(9×80+8+1=729\)となりますね。
ここまで真面目に考えずとも、

\begin{eqnarray}9^2&=&81\\ 99^2&=&9801\\ 999^2&=&998001\\ 9999^2&=&99980001\end{eqnarray}


のような規則が成り立っていることから答えを出すことも可能ですね。
ところで、この数の並びを見ていると


\begin{eqnarray} 8+1&=&9\\ 98+01&=&99\\998+001&=&999\\ 9998+0001&=&9999
\end{eqnarray}

のような規則が成り立っていることに気付きます。

実はこれには名前がついていて、このように、二乗した数が\(2n\)桁なら前半と後半を\(n\)桁ずつに、\(2n+1\)桁なら前半\(n\)桁と後半\(n+1\)桁に分けたあとに、足すことによって得られる数がもとの数に一致するとき、これを「カプレカ数」と呼びます。
先ほどの規則により、\(9,99,999,9999,\cdots\)は全てカプレカ数とわかりますね!
では、皆さんも、カプレカ数を見つけてみましょう。
※「カプレカ数」の概念は他にもあり、別のものを指す場合もあるので注意が必要です。

Q. \(45,55,4950,5050\)はカプレカ数である。ここからあと\(2\)つ、カプレカ数を見つけてみよ。

【略解】


\begin{eqnarray} 45&=&1+2+\cdots+9\\
55&=&1+2+\cdots+10\\ 4950&=&1+2+\cdots+99\\ 5050&=&1+2+\cdots+100
\end{eqnarray}

であることに気づけば、


\begin{eqnarray} 1+2+\cdots+999&=&499500\\ 1+2+\cdots+1000&=&500500
\end{eqnarray}


がカプレカ数であると予想でき、実際、

\begin{eqnarray} 499500^2&=&249500250000
\end{eqnarray}

なので


\begin{eqnarray} 499500&=&249500+250000\\
500500^2&=&250500250000\\
500500&=&250500+250000
\end{eqnarray}
より、確かに、\(499500\)や\(500500\)はカプレカ数であることがわかりますね。この先もこの規則は続いていき、「三角数かつカプレカ数であるような数」が無限個存在するなんてこともわかります!以上のことをまとめると…

  • \(99\cdots99\)はカプレカ数
  • \(1\sim 99\cdots99\)までの和もカプレカ数
  • \(1\sim100\cdots00\)までの和もカプレカ数

といったことがわかりました。
他の三角数で成り立つわけでもなく、このような性質があるのはなんともきれいな反面、不思議な気がしますね。

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