第2問

図において\(AC=AD\)である。このとき\(?\)は何度か?

(算数オリンピック1995トライアル)

【方針1】

図のように\(\triangle ACE\)が正三角形になるように点\(E\)を取る。

\(\angle EAD=150^{\circ}\)で\(\triangle AED\)は二等辺三角形だから\(\angle AED=\angle ADE=\angle EDB=15^{\circ}\)

よって錯覚が等しいから\(AE,DB\)は平行であり、\(AEBD\)は台形

錯覚から\(\angle EAB=\angle ABD=15^{\circ}\)なので\(\triangle AFE,\triangle DFB\)はともに二等辺三角形であり、このことから\(AEBD\)は等脚台形とわかる。

よって、左右は対称だから\(\angle ECB=\angle ACD=45^{\circ}\)であり、\(\angle ECA=60^{\circ}\)と合わせて\(\angle ACB=105^{\circ}\)とわかる。

【方針2】

\(BD\)上に\(\angle ECD=15^{\circ}\)となるように点\(E\)を取る。\(\triangle ACD\)は直角二等辺三角形なので\(\angle EDC=15^{\circ}\)なので\(\triangle ECD\)は二等辺三角形

よって、ニ辺夾角相等から\(\triangle ACE\equiv \triangle ADE\)であり、\(\angle CAE=\angle DAE=45^{\circ}\)

また、\(\angle CED=150^{\circ}\)なので\(\angle CEB=30^{\circ},\angle AEB=75^{\circ} \)であり、\(\angle BAE=90^{\circ}\)

\(E\)から\(AC\)に下ろした垂線の足を\(H\)、\(AB\)と\(AH\)の交点を\(F\)とおく。

\(\angle AFH=45^{\circ}\)なので\(\triangle AFH\)と\(\triangle AEH\)は合同な直角二等辺三角形である。よって\(\triangle CEF\)において\(CH\)は垂線であり、中線でもあるから二等辺三角形。\(ECH=30^{\circ}\)も合わせると\(\triangle CEF\)は正三角形である。

よって、ニ辺夾角相等から\(\triangle FBE\equiv \triangle CBE\)なので\(\angle BCE=135^{\circ}\)であり、\(\angle BCA=105^{\circ}\)とわかる。

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