JMO予選1991問4

$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{(x+1)y}=\frac{1}{1991}\cdots①$$
の自然数解の個数を求めよ。

【略解】

まずは分母を払い、式を整理してみましょう。

\begin{eqnarray}①&⇔&1991(y+x+1+1)=(x+1)y\\&⇔&xy-1991x-1990y=1991\times2\\ &⇔&(x-1990)(y-1991)=1991\times1992\end{eqnarray}

この最後の変形は、よくある受験数学の問題の基本ですね。\(x,y\)の値は\(x-1990\)と\(y-1991\)の値と一対一対応しており、\(x-1990\)と\(y-1991\)はかけて\(1991\times1992\)となる自然数ですから、結局求める個数は\(1991\times1992\)の正の約数の個数です。

\begin{eqnarray} 1991&=&11\times181 \\1992&=&2^3\times3\times83 \end{eqnarray}

ですから
$$ 1991\times 1992=2^3\times3\times11\times83\times181$$
より、求める個数は\(4\times2\times2\times2\times2=64\)となりますね。

このように、下手なことを考えず、受験数学的にやればできると思ったときはそのままやってしまうことも時には重要です。似たような例をもう1問見てみましょう。

Q.

$$\frac{201}{a}+\frac{3}{b}$$

が自然数となる自然数の組\((a,b)\)の個数を求めよ。
(JJMO予選2013問8)

中学生の問題とはいえ侮れません。
\(a,b,n\)の方程式

$$\frac{201}{a}+\frac{3}{b}=n\cdots①$$

の自然数解の個数を求めると考えれば先ほどの問題のちょっとした応用ですね。

\begin{eqnarray} ①&⇔&3a+201b=abn\\&⇔&abn^2-3an-201bn=0\\&⇔&(an-201)(bn-3)=603\end{eqnarray}

\(an-201\)と\(bn-3\)はかけて\(603\)となる正の整数ですから、

$$ (an-201,bn-3)=(1,603),(3,201),(9,67),(67,9),(201,3),(603,1)$$


にしぼれ、

$$ (an,bn)=(202,606),(204,204),(210,70),(268,12),(402,6),(804,4)\cdots②$$


となります。よって、\(a,b,n\)の自然数の個数は、一般に、\((an,bn)=(x,y)\)のとき、\(n\)が\(x,y\)の公約数となることを考えれば、\((a,b,n)\)の個数は\(x,y\)の最大公約数の正の約数の個数となることから、②より求める個数は、\(4+12+8+3+4+3=34\)個とわかりますね。
中学生にとっては、このような受験数学でよくある不定方程式の式変形は慣れていないでしょうし、なかなか難しい問題だったかもしれません。
このような典型問題として処理できる問題は学年が上であるほど落としたくないですね。

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