Problem2.1

$$g_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}=g_{\rho\sigma}\tag{3}$$

から

$$\delta\omega_{\rho\sigma}=-\delta\omega_{\sigma\rho}\tag{8}$$

を導け。

【解答】

(3)に

$$\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu}=\delta^{\mu}_{\ \ \nu}+\delta\omega^{\mu}_{\ \ \nu}\tag{7}$$

を代入して(\(\delta\omega\)の二次以上は無視して計算する)

\begin{eqnarray}g_{\rho\sigma}&=&g_{\mu\nu}(\delta^{\mu}_{\ \ \rho}+\delta\omega^{\mu}_{\ \ \rho})(\delta^{\nu}_{\ \ \sigma}+\delta\omega^{\nu}_{\ \ \sigma})\\&=&g_{\mu\nu}\{\delta^{\mu}_{\ \ \rho}\delta^{\nu}_{\ \ \sigma}+\delta^{\mu}_{\ \ \rho}\delta\omega^{\nu}_{\ \ \sigma}+\delta^{\nu}_{\ \ \sigma}\delta\omega^{\mu}_{\ \ \rho}\} \\&=&g_{\rho\sigma}+g_{\rho\nu}\delta\omega^{\nu}_{\ \ \sigma}+g_{\mu\sigma}\delta\omega^{\mu}_{\ \ \rho}\\&=&g_{\rho\sigma}+\delta\omega_{\rho\sigma}+\delta\omega_{\sigma\rho}\end{eqnarray}

なので(8)が成り立つ。

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