4. スピン統計定理

スピン0の自由粒子のハミルトニアンは

$$H_0=\int \tilde{dk}\ \omega \ a^{\dagger}({\bf{k}})a({\bf{k}})\tag{1}$$

で表される。ここで、\(\omega=\sqrt{{\bf{k}}^2+m^2}\)である。そして正準量子化の帰結として交換関係または反交換関係

\begin{eqnarray}[a({\bf{k}}),a({\bf{k}}^{\prime})]_{\mp}&=&0\ ,\\ \ [a^{\dagger}({\bf{k}}),a^{\dagger}({\bf{k}}^{\prime})]_{\mp}&=&0\ ,\\ \ [a({\bf{k}}),a^{\dagger}({\bf{k}}^{\prime})]_{\mp}&=&(2\pi)^32\omega\delta^3({\bf(k-k^{\prime})}) \tag{2}\end{eqnarray}

が成り立つ。もちろん、ボゾンを考えているときは交換関係、フェルミオンを考えているときは反交換関係を用いる。

ローレンツ不変で局所的な相互作用を与えるハミルトニアンを考えよう。そのためにエルミートではない場

$$\varphi^+({\bf{x}},0)\equiv \int \tilde{dk}\ e^{i{\bf{k\cdot x}}}a({\bf{k}})\tag{3}$$

とそのエルミート共役

$$\varphi^-({\bf{x}},0)\equiv \int \tilde{dk}\ e^{-i{\bf{k\cdot x}}}a^{\dagger}({\bf{k}})\tag{3}$$

を用いると便利である。

Baler-Campbell -Hausdorffの公式を用いて\(\varphi^{+}\)の時間発展を計算すると

\begin{eqnarray}&&e^{iH_0t}\varphi^+({\bf{x}},0)e^{-iH_0t}\\&=&e^{iH_0t}\int \tilde{dk}\ e^{i{\bf{k\cdot x}}}a({\bf{k}})e^{-iH_0t}\\ &=&\int \tilde{dk}\ e^{i{\bf{k\cdot x}}}e^{iH_0t}a({\bf{k}})e^{-iH_0t}\\ &=&\int \tilde{dk}\ e^{i{\bf{k\cdot x}}}\left\{a({\bf{k}})+\left[iH_0t,a({\bf{k}})\right]_{\mp}+\frac{1}{2!}\left[iH_0t,\left[iH_0t,a({\bf{k}})\right]_{\mp}\right]_{\mp}+\cdots\right\}\\ &=&\int \tilde{dk}\ e^{i{\bf{k\cdot x}}}a({\bf{k}})\left\{1+(-it\omega)+\frac{(-it\omega)^2}{2!}+\frac{(-it\omega)^3}{3!}+\cdots\right\}\\ &=&\int \tilde{dk}\ e^{i{\bf{k\cdot x}}}a({\bf{k}})e^{-it\omega}\\ &=&\int \tilde{dk}\ e^{ikx}a({\bf{k}}) \end{eqnarray}

となる。ここで、

\begin{eqnarray}[iH_0t,a({\bf{k}})]_{\mp}&=&it\int\tilde{dk}^{\prime}\ \omega\ [a^{\dagger}({\bf{k}}^{\prime})a({\bf{k}}^{\prime}),a({\bf{k}})]_{\mp}\\ &=& it\int\tilde{dk}^{\prime}\ \omega\ [a^{\dagger}({\bf{k}}^{\prime}),a({\bf{k}})]_{\mp}a({\bf{k}}^{\prime})\\ &=&-it\int\tilde{dk}^{\prime}\ \omega \ (2\pi)^32\omega\delta({\bf{k^{\prime}-k}})a({\bf{k}})^{\prime}\\ &=&-it\omega a({\bf{k}}) \end{eqnarray}

を用いた。\(\varphi^-\)も同じように計算すればよく、まとめると

\begin{eqnarray} \varphi^+({\bf{x}},t)&=&e^{iH_0t}\varphi^+({\bf{x}},0)e^{-iH_0t}=\int \tilde{dk}\ e^{ikx}a({\bf{k}})\\ \varphi^-({\bf{x}},t)&=&e^{iH_0t}\varphi^-({\bf{x}},0)e^{-iH_0t}=\int \tilde{dk}\ e^{-ikx}a^{\dagger}({\bf{k}})\tag{5} \end{eqnarray}

となる。ここで、\(\varphi(x)= \varphi^+(x)+ \varphi^-(x) \)が成り立つことを注意しておく。

さらにproper orthochronous なローレンツ変換\(\Lambda\)により、\(\varphi(x)\)は

$$U(\Lambda)^{-1}\varphi(x)U(\Lambda)=\varphi(\Lambda^{-1}x)$$

で変換するのであった。また、Problem3.3より、生成消滅演算子も同じように変換する。

\begin{eqnarray}U(\Lambda)^{-1}a({\bf{k}})U(\Lambda)=a(\Lambda^{-1}{\bf{k}}),\\ U(\Lambda)^{-1}a^{\dagger}({\bf{k}})U(\Lambda)=a^{\dagger}(\Lambda^{-1}{\bf{k}}) \tag{7}\end{eqnarray}

よって、定義より\(\varphi^{\pm}(x)\)も同じように変換する。

$$U(\Lambda)^{-1}\varphi^{\pm}(x)U(\Lambda)=\varphi^{\pm}(\Lambda^{-1}x)\tag{8}$$

さて、相互作用を表すラグランジアン密度を\(\varphi^+(x)\)と\(\varphi^-(x)\)のエルミート関数と置くことにする。

量子力学での時間依存した摂動の結果を用いると、\(t=-\infty\)での始状態\(|i\rangle\)と\(t=+\infty\)での終状態の遷移振幅\({\mathcal{T}}_{f\leftarrow i}\)は

$${\mathcal{T}}_{f\leftarrow i}=\langle f |T\exp\left[-i\int^{+\infty}_{-\infty}dt H_I(t)\right]|i\rangle\tag{9}$$

で書ける。ここで\(H_I(t)\)は相互作用描像での摂動ハミルトニアン

$$H_I(t)=\exp(+iH_0t)H_1\exp(-iH_0t)\tag{10}$$

である。また、\(T\)はtime ordering symbolである。さらにハミルトン密度\({\mathcal{H}}_1({\bf{x}},0)\)を\(\varphi^+({\bf{x}},0)\)と\(\varphi^-({\bf{x}},0)\)のエルミート関数として\(H_I=\int d^3x {\mathcal{H}}_1({\bf{x}},0)\)と書くことにする。時間発展の形は\(\varphi^{\pm}(x)\)と\({\mathcal{H}}_I(x)\)で同じなので\({\mathcal{H}}_I(x)\)は\(\varphi^{\pm}(x)\)を入力として\({\mathcal{H}}_1({\bf{x}},0)\)と同じ関数形で書ける。

さて、\({\mathcal{T}}_{f\leftarrow i}\)はローレンツ不変でないといけない。そのためにはtime ordering symbol もローレンツ不変でなければならない。timelikeな二点\(x,x^{\prime}\)に対しては\((x-x^{\prime})^2<0\)がローレンツ不変であるからどのような慣性系から見ても時間順序は変わらない。(時間順序が変わるためにはある速度で同時刻にならなくてはいけないがそれでは\((x-x^{\prime})^2<0\)がローレンツ不変であることに矛盾する。)spacelike な二点\(x,x^{\prime}\)に関してはローレンツ変換によって時間順序が変わる可能性がある。これでも\({\mathcal{T}}_{f\leftarrow i}\)がローレンツ不変であるために

$$[{\mathcal{H}}_I(x),{\mathcal{H}}_I(x^{\prime})]=0\ \ {\rm{whenever}}\ \ (x-x^{\prime})^2>0\tag{11}$$

が成り立つべきである。spacelikeな二点では\([\varphi^+(x), \varphi ^{+}(x^{\prime})]_{\mp}=[ \varphi ^{-}(x), \varphi ^-(x^{\prime})]_{\mp}=0\)であるから\([ \varphi ^+(x), \varphi ^-(x^{\prime})]_{\mp}\)のみ考えればよい。\((x-x^{\prime})^2\equiv r^2\)とおいて、\(x_0-x_0^{\prime}=0\)となる慣性系で計算すると

\begin{eqnarray}[ \varphi ^+(x), \varphi ^-(x^{\prime})]_{\mp}&=&\int \tilde{dk}\tilde{dk}^{\prime}e^{i(kx-k^{\prime}x^{\prime})}[a({\bf{k}}),a^{\dagger}({\bf{k}}^{\prime})]_{\mp}\\ &=&\int \tilde{dk}\ e^{ik(x-x^{\prime})}\\ &=&\int \frac{d^3k}{(2\pi)^32\omega}\ e^{i{\bf{k\cdot(x-x^{\prime})}}}\\ &=&\frac{2\pi}{2(2\pi)^3}\int^{\infty}_0\frac{dk\ k^2}{\omega}\int^{+1}_{-1}d\cos \theta \ e^{ikr\cos \theta}\\ &=&\frac{1}{8\pi^2}\int^{\infty}_0\frac{dk\ k^2}{\omega}\frac{2\sin (kr)}{kr}\\ &=&\frac{1}{4\pi^2 r}\int^{\infty}_0dk \frac{k\sin (kr)}{(k^2+m^2)^{1/2}}\\ &=&\frac{m}{4\pi^2r}K_1(mr)\\ &\equiv&C(r) \tag{12}\end{eqnarray}

ここで、\(K_1(z)\)は第二種変形ベッセル関数である。関数\(C(r)\)は\(r>0\)であれば0にはならない。(\(m=0\)のときでさえ、0にならない。(Problem4.1))よって、一般には(11)を満たすことはできないだろうという結論に至る。

そこで、この問題を解決するために\(\varphi^{\pm}\)はある特別な線形結合の形

\begin{eqnarray} \varphi_{\lambda}(x)&\equiv& \varphi^+(x)+\lambda\varphi^-(x)\\ \varphi^{\dagger}_{\lambda}(x)&\equiv& \varphi^-(x)+\lambda^*\varphi^+(x) \tag{13}\end{eqnarray}

でしか理論に入らないという仮定をする。ここで、\(\lambda\)は任意の複素数である。\(\varphi_{\lambda}\)で交換関係を計算すると

\begin{eqnarray} [\varphi_{\lambda}(x),\varphi_{\lambda}^{\dagger}(x^{\prime})]_{\mp}&=&[\varphi^+(x),\varphi^-(x^{\prime})]_{\mp}+|\lambda|^2[\varphi^-(x),\varphi^+(x^{\prime})]_{\mp}\\ &=&(1\mp |\lambda|^2)C(r)\tag{14} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}[\varphi_{\lambda}(x),\varphi_{\lambda}(x^{\prime})]_{\mp}&=&\lambda[\varphi^+(x),\varphi^-(x^{\prime})]_{\mp}+\lambda[\varphi^-(x),\varphi^+(x^{\prime})]_{\mp}\\ &=&\lambda(1\mp 1)C(r) \tag{15}\end{eqnarray}

となる。これが0であるためには\(|\lambda|=1\)であり、交換関係を選ばなければならないことがわかる。

ここで、\(\lambda=e^{i\alpha}\)と書くことにして\(e^{-\alpha/2}\varphi(x)\)を考えてみよう。するとこれはエルミートであり、実スカラー場になっていることが分かる。そこでさらに\(a({\bf{k}})\to e^{+i\alpha/2} a({\bf{k}}) \),\( a^{\dagger}({\bf{k}})\to e^{-i\alpha/2} a^{\dagger}({\bf{k}}) \)と置き換えると(2)の交換関係は変わらないまま

$$e^{-i\alpha/2}\varphi_{\lambda}(x)=\varphi(x)=\varphi^+(x)+\varphi^-(x)$$

となる。つまり、結論を述べるとハミルトニアンは最初から実スカラー場\(\varphi(x)\)や\(\partial^{\mu}\varphi(x)\partial_{\mu}\varphi(x)\)で構成し、交換関係を選ぶことが散乱振幅がローレンツ不変であることから要請されるわけである。

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