Problem2.2

$$U(\Lambda)^{-1}U(\Lambda^{\prime})U(\Lambda)=U(\Lambda^{-1}\Lambda^{\prime}\Lambda)$$

から

\begin{eqnarray}\delta\omega_{\mu\nu}U(\Lambda)^{-1}M^{\mu\nu}U(\Lambda)=\delta\omega_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}M^{\rho\sigma}\tag{13}\end{eqnarray}

を導け。

【解答】

\(\Lambda^{\prime}=1+\delta \omega^{\prime}\)を代入すると

$$U(\Lambda^{\prime})=U(1+\delta\omega^{\prime})=I+\frac{i}{2\hbar}\delta \omega_{\mu\nu}^{\prime}M^{\mu\nu}$$

よって、

\begin{eqnarray}U(\Lambda)^{-1}U(\Lambda^{\prime})U(\Lambda)&=&U(\Lambda)^{-1}\left(I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}^{\prime}M^{\mu\nu}\right)U(\Lambda)\\ &=&I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}^{\prime}U(\Lambda^{-1})M^{\mu\nu}U(\Lambda) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} U(\Lambda^{-1}\Lambda^{\prime}\Lambda)&=&U(\Lambda^{-1}(1+\delta\omega^{\prime})\Lambda)\\ &=&U(1+\Lambda^{-1}\delta\omega^{\prime}\Lambda)\\ &=&I+\frac{i}{2\hbar}(\Lambda^{-1}\delta\omega^{\prime}\Lambda)_{\rho\sigma}M^{\rho\sigma}\\ &=&I+\frac{i}{2\hbar}((\Lambda^{-1})_{\rho}^{\ \ \mu}\delta\omega^{\prime}_{\mu\nu}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma})M^{\rho\sigma}\\ &=&I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega^{\prime}_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}M^{\rho\sigma} \end{eqnarray}

となるので比べて

\begin{eqnarray}\delta\omega_{\mu\nu}U(\Lambda)^{-1}M^{\mu\nu}U(\Lambda)=\delta\omega_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}M^{\rho\sigma}\tag{13}\end{eqnarray}

を得る。

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