Problem2.3

\begin{eqnarray}U(\Lambda)^{-1}M^{\mu\nu}U(\Lambda)=\Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}M^{\rho\sigma}\tag{14}\end{eqnarray}

から

$$[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=i\hbar\left(g^{\mu\rho}M^{\nu\sigma}-(\mu\leftrightarrow\nu)\right)-(\rho\leftrightarrow \sigma)\tag{16}$$

を示せ。

【解答】

$$U(1+\delta\omega)=I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}$$

を用いて、\(\delta\omega\)の一次の項までで計算すると

\begin{eqnarray} U(\Lambda)^{-1}M^{\mu\nu}U(\Lambda)&=&\left(I-\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\rho\sigma}M^{\rho\sigma}\right)M^{\mu\nu}\left(I+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\rho\sigma}M^{\rho\sigma}\right)\\ &=&M^{\mu\nu}+\frac{i}{2\hbar}\delta\omega_{\rho\sigma}[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}] \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \Lambda^{\mu}_{\ \ \rho}\Lambda^{\nu}_{\ \ \sigma}M^{\rho\sigma}&=&(\delta^{\mu}_{\ \ \rho}+\delta\omega^{\mu}_{\ \ \rho})(\delta^{\nu}_{\ \ \sigma}+\delta\omega^{\nu}_{\ \ \sigma})M^{\rho\sigma}\\ &=&M^{\mu\nu}+\delta\omega^{\mu}_{\ \ \rho}M^{\rho\nu}+\delta\omega^{\nu}_{\ \ \sigma}M^{\mu\sigma}\\ &=&M^{\mu\nu}+\delta\omega_{\sigma\rho}g^{\sigma\mu}M^{\rho\nu}+\delta\omega_{\rho\sigma}g^{\rho\nu}M^{\mu\sigma}\\ &=&M^{\mu\nu}-\delta\omega_{\rho\sigma}(g^{\sigma\mu}M^{\rho\nu}-g^{\rho\nu}M^{\mu\sigma})\\ &=&M^{\mu\nu}-\frac{\delta\omega_{\rho\sigma}}{2}(g^{\sigma\mu}M^{\rho\nu}-g^{\rho\nu}M^{\mu\sigma}+g^{\sigma\mu}M^{\rho\nu}-g^{\rho\nu}M^{\mu\sigma})\\ &=&M^{\mu\nu}-\frac{\delta\omega_{\rho\sigma}}{2}(g^{\sigma\mu}M^{\rho\nu}-g^{\rho\nu}M^{\mu\sigma})-\frac{\delta\omega_{\sigma\rho}}{2}(g^{\rho\mu}M^{\sigma\nu}-g^{\sigma\nu}M^{\mu\rho})\\ &=&M^{\mu\nu}-\frac{\delta\omega_{\rho\sigma}}{2}(g^{\sigma\mu}M^{\rho\nu}-g^{\rho\nu}M^{\mu\sigma}+g^{\rho\mu}M^{\sigma\nu}-g^{\sigma\nu}M^{\mu\rho}) \end{eqnarray}

なので、\(\delta\omega\)の係数を比べる。ここで、\(\delta\omega_{\rho\sigma}\)は反対称において任意だから係数部分も反対称部分が等しいわけだが\(M^{\rho\sigma}\)が最初から反対称だから結局、係数は等しいとできて、

$$[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=i\hbar\left(g^{\mu\rho}M^{\nu\sigma}-(\mu\leftrightarrow\nu)\right)-(\rho\leftrightarrow \sigma)\tag{16}$$

が成り立つとわかる。

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