自由場での経路積分

調和振動子での経路積分の結果をそのまま、自由場での経路積分に応用しよう。ほとんど計算は同じなので結果を淡々と述べることにする。まず、自由場のハミルトニアンは次の式で与えられる。

$${\mathcal{H}}_0=\frac{1}{2}\Pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\varphi)^2+\frac{1}{2}m^2\varphi^2\tag{1}$$

量子力学との対応は

\begin{eqnarray} q(t)&\to& \varphi({\bf{x}},t)\ ({\rm{classical\ field}})\\ Q(t)&\to& \varphi({\bf{x}},t)\ ({\rm{operator\ field}})\\ f(t)&\to& J({\bf{x}},t)\ ({\rm{classical}}\ source) \tag{2}\end{eqnarray}

のようである。ここで、古典場も演算子場も\(\varphi(x)\)を用いるがそれは文脈から判断しよう。

\(\epsilon\)トリックを使うために\({\mathcal{H}}_0\)に\(1-i\epsilon\)を掛けることにする。しかし、ここでは実質的に等価である、\(m^2\)を\(m^2-i\epsilon\)に変える方法を用いる。((7)式をを見ると等価であることが分かる。)しかし、いちいち\( m^2-i\epsilon \)と書くのもめんどうなので\(m^2\)と書いたら\(m^2-i\epsilon\)を意味するとする。

さて、自由場の経路積分を計算しよう。\(\Pi\)は二次なので\({\mathcal{D}}\Pi\)の経路積分は実行できて

$$Z_0(J)\equiv \langle 0|0\rangle _J=\int{\mathcal{D}}\varphi\ e^{i\int d^4x[{\mathcal{L}}_0+J\varphi]}\tag{3}$$

である。ここで、

$${\mathcal{L}}_0=-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\varphi\partial_{\mu}\varphi-\frac{1}{2}m^2\varphi^2\tag{4}$$

はラグランジアン密度であり、

$${\mathcal{D}}\varphi\propto\prod_x d\varphi(x)\tag{5}$$

は経路積分の測度である。

7章の調和振動子の計算をまねて\(Z_0(J)\)を計算しよう。4次元フーリエ変換

$$\tilde{\varphi}(k)=\int d^4x\ e^{-ikx}\varphi(x),\ \ \ \varphi(x)=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{ikx}\tilde{\varphi}(k)\ \tag{6}$$

を導入しよう。ここで、\(kx=-k^0t+{\bf{k\cdot x}}\)であり、\(k^0\)は積分変数である。これを用いると\(S_0=\int d^4x[{\mathcal{L}}_0+J\varphi]\)は

$$S_0=\frac{1}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}[-\tilde{\varphi}(k)(k^2+m^2)\tilde{\varphi}(-k)+\tilde{J}(k)\tilde{\varphi}(-k)+\tilde{J}(-k)\tilde{\varphi}(k)]\tag{7}$$

と変形できる。ここで、\(k^2={\bf{k}}^2-(k^0)^2\)である。さらに、経路積分の積分変数を

$$\tilde{\chi}(k)=\tilde{\varphi}(k)-\frac{\tilde{J}(k)}{k^2+m^2}\tag{8}$$

と変えることにする。すると、\(x\)を固定したもとでは\(\chi\)と\(\varphi\)はshiftの関係なので\({\mathcal{D}}\varphi={\mathcal{D}}\chi\)である。この変換により、作用は

$$S_0=\frac{1}{2}\int \frac{d^4x}{(2\pi)^4}\left[\frac{\tilde{J}(k)\tilde{J}(-k)}{k^2+m^2}-\tilde{\chi}(k)(k^2+m^2)\tilde{\chi}(-k)\right]\tag{9}$$

となる。さらに調和振動子とまったく同じように\(\chi\)での積分を行ってから\(Z_0=\langle 0|0\rangle_{J=0}=1\)より、\(J\)が含まれない部分は1にできることを使うと

\begin{align} Z_0(J)&=\exp\left[\frac{i}{2}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{\tilde{J}(k)\tilde{J}(-k)}{k^2+m^2-i\epsilon}\right]\\ &=\exp\left[\frac{i}{2}\int d^4xd^4x^{\prime}\ J(x)\Delta(x-x^{\prime})J(x^{\prime})\right] \tag{10}\end{align}

と計算できる。\(m^2\to m^2-i\epsilon\)と戻したことに注意する。ここで、Feynman propagator

$$\Delta(x-x^{\prime})=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{e^{ik(x-x^{\prime})}}{k^2+m^2-i\epsilon} \tag{11}$$

を定義した。Feynman propagator はKlein-Gordon 方程式のグリーン関数である。(Problem8.1)

$$(-\partial_x^2+m^2)\Delta(x-x^{\prime})=\delta^4(x-x^{\prime})\tag{12}$$

また、(11)式の右辺で留数定理を用いて\(k^0\)積分を行うことで(Problem8.2)

\begin{align} \Delta (x-x^{\prime})&=i\int\tilde{dk}\ e^{i{\bf{k\cdot(x-x^{\prime})}}-i\omega|t-t^{\prime}|}\\ &=i\theta(t-t^{\prime})\int \tilde{dk}\ e^{ik(x-x^{\prime})}+i\theta(t^{\prime}-t)\int \tilde{dk}\ e^{-ik(x-x^{\prime})} \tag{13}\end{align}

となる。ここで、\(\theta(t)\)は階段関数である。また、\(\tilde{dk}\)積分を行うと4章のときの計算と同様にベッセル関数になる。

\(n\)点相関関数を計算するには汎関数微分をすればよい。

$$\langle 0|T\varphi(x_1)\dots|0\rangle =\left.\frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\cdots Z_0(J)\right|_{J=0}\tag{14}$$

例えば、

\begin{align} \langle 0|T\varphi(t_1)\varphi(t_2)|0\rangle&=\left.\frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(x_2)}Z_0(J)\right|_{J=0}\\ &=\left.\frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(x_1)}\left[\int d^4x^{\prime}\ \Delta(x_2-x^{\prime})J(x^{\prime})\right]Z_0(J) \right|_{J=0}\\ &=\left.\left[\frac{1}{i}\Delta(x_2-x_1)+(Jが含まれる項)\right]Z_0(J)\right|_{J=0}\\ &=\frac{1}{i}\Delta(t_2-t_1) \tag{15}\end{align}

と計算できる。\(J=0\)とするので\(J\)が残っている項は消えることに注意しよう。それにより、\(\varphi\)の数が奇数のときはつねに\(0\)になる。他にも

\begin{align} \langle 0|T\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_3)\varphi(x_4)|0\rangle=&\frac{1}{i^2}[\Delta(x_1-x_2)\Delta(x_3-x_4)\\ &+\Delta(x_1-x_3)\Delta(x_2-x_4)\\ &+\Delta(x_1-x_4)\Delta(x_2-x_3)] \tag{16}\end{align}

のように計算でき、もっと一般には

$$\langle 0|T\varphi(x_1)\dots \varphi(x_{2n})|0\rangle=\frac{1}{i^n}\sum_{pairings}\Delta(x_{i_1}-x_{i_2})\dots \Delta(x_{i_{2n-1}}-x_{i_{2n}})\tag{17}$$

が成り立つ。これはWickの定理と呼ばれる。

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