JJMO2019問題

1. \(a,b,c,d,e,f\)は相異なる1以上9以下の整数であり、\(ab=cd=e+f\)をみたしているとする。このとき、\(a+b+c+d+e+f\)としてありうる値をすべて求めよ。

2. 差が1である2つの正の整数を大きい順に並べて得られる数を\({\bf{今年の数}}\)と呼ぶ。たとえば20と19を並べて得られる2019は今年の数である。17で割りきれる今年の数としてありうる最小のものを求めよ。

3. 四角形\(ABCD\)と四角形\(DEFG\)はともに長方形であり、3点\(A,D,E\)と3点\(C,D,G\)はいずれもこの順に同一直線上にある。\(\angle GAD=36^{\circ}\),\(\angle GCF=15^{\circ}\),\(BE=CF\)が成り立つとき、\(\angle AEB\)の大きさを求めよ。ただし、\(XY\)で線分\(XY\)の長さを表すものとする。

4. 1以上999以下の整数であって、2で割りきれる回数が5で割りきれる回数より多いものはいくつあるか。

5. 円に内接する四角形\(ABCD\)および辺\(CD\)上の点\(E\)について、\(AB=3,EC=5,ED=1,AE
\parallel BC\)が成り立っている。また、直線\(AE\)に関して\(D\)と対称な点を\(F\)とすると、3点\(B,E,F\)は同一直線上にある。このとき、線分\(AF\)の長さを求めよ。ただし、\(XY\)で線分\(XY\)の長さを表すものとする。

6. 10枚のカードが横一列に並んでいる。左から奇数番目のカードには正の整数、偶数番目のカードには負の整数を書き込む。このとき、以下の条件をみたすような書き込み方は何通りあるか。  $$1以上10以下のどの整数iについても、1番目からi番目のカードに書き込まれている数の総和は-1,0,1のどれかである。$$

7. 正の整数\(x\)に対して\(d(x)\)で\(x\)の正の約数の個数を表すとき、\(d(n^2)=d(n^2+7^{2019})\)をみたす正の整数\(n\)としてありうる最小のものを求めよ。

8. 1以上5以下の整数5つからなる組\((a,b,c,d,e)\)で、\(a+2b+3c+4d+5e\)が6の倍数になるものはいくつあるか。

9. 三角形\(ABC\)は\(\angle B=90^{\circ},BC=8\)をみたす。辺\(AB\)上に点\(D\),辺\(AC\)上に点\(E\)があり、直線\(BE\)と直線\(CD\)の交点を\(F\)とおくと\(BF=6,CF=7\)をみたす。また四角形\(ADFE\)に円が内接するとき、線分\(AB\)の長さを求めよ。ただし、\(XY\)で線分\(XY\)の長さを表すものとする。

10. ある国には港が100個あり、JJMO海運は異なる2つの港を双方向に結ぶ直行便をいくつか運航している。JJMO海運は次の条件をみたす異なる2つの港\(A,B\)に対し、それらを双方向に結ぶ直行便を新しく作ることにした。 $$港Aを出てすべての港を一回ずつ通り港Bへ行くことができるが、港A,Bの間に直行便は存在しない。$$

条件をみたすような異なる2つの港がなくなるまで直行便を作るとき、作られる直行便の数としてありうる最大の値を求めよ。

11. 三角形\(ABC\)の内心を\(I\)、垂心を\(H\)とする。\(AI=5,AH=6,\angle AIH=90^{\circ}\)が成り立っているとき、三角形\(ABC\)の外接円の半径の長さを求めよ。ただし、\(XY\)で線分\(XY\)の長さを表すものとする。

12. 黒板に、\(A\)と\(B\)をいくつか並べてできる文字列\(w\)が書かれているとき、以下のような操作を考える。 $$wの後ろにもう1つwを書き足した後、0文字または1文字をAからBまたはBからAに書き換える。$$

たとえば、\(w\)が「\(ABA\)」のとき、操作後に黒板に書かれている文字列としてありうるものは、「\(ABAABA\)」、「\(BBAABA\)」、「\(AAAABA\)」、「\(ABBABA\)」、「\(ABABBA\)」、「\(ABAAAA\)」、「\(ABAABB\)」の7つである。

いま、黒板に「\(A\)」という文字列が書かれているとする。この状態から操作を4回行ったとき、最終的に黒板に書かれている文字列としてありうるものはいくつあるか。

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