13.EXACT PROPAGATORのLehmann-Kallen形式

exact propagator \({\boldsymbol{\Delta}}(x-y)\)について一般原理だけからどんなことが言えるだろうか。exact propagator は

$${\boldsymbol{\Delta}} (x-y)\equiv i\langle 0|T\varphi(x)\varphi(y)|0\rangle \tag{1}$$

で定義された。\(\varphi\)は

$$\langle 0|\varphi(x)|0\rangle =0,\ \ \ \langle k|\varphi(x)|0\rangle =e^{-ikx}\tag{2}$$

が成り立つように規格化されているとする。\(d\)次元では1粒子状態\(| k\rangle\)の規格化は

$$\langle k |k^{\prime}\rangle =(2\pi)^{d-1}2\omega\ \delta ^{d-1}({\bf{k-k^{\prime}}})\tag{3}$$

である。ここで、\(\omega=({\bf{k}}^2+m^2)^{1/2}\)である。また、

$$\int \tilde{dk}| k\rangle \langle k|=I_1\tag{4}$$

で定義される演算子\(I_1\)は1粒子状態の部分空間内では恒等演算子である。ここで、

$$\tilde{dk}\equiv \frac{d^{d-1}k}{(2\pi)^{d-1}2\omega}\tag{5}$$

であり、これはローレンツ不変である。

さらにexact momentum-space propagator \(\tilde{{\boldsymbol{\Delta}}}(k^2)\)を

$${\boldsymbol{\Delta}}(x-y)\equiv \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d}e^{ik(x-y)}\tilde{{\boldsymbol{\Delta}}}(k^2)\tag{6}$$

で定義しよう。これは自由場では

$$\tilde{\Delta}(k^2)=\frac{1}{k^2+m^2-i\epsilon}\tag{7}$$

となる。これは\(k^2=-m^2\)でpole を持ち、粒子の物理的な質量に対応している。

ここで、5章で述べたHilbert空間の状態について復習しておく。

  • エネルギー、運動量が0である真空状態\(|0\rangle\)が1つ
  • \(d-1\)次元運動量\({\bf{k}}\)でエネルギー\(\omega=({\bf{k}}^2+m^2)^{1/2}\)である一粒子状態\(|k\rangle\)
  • \(d-1\)次元運動量が\({\bf{k}}\)であり、全質量\(M\)が\(M\ge 2m\)、エネルギーが\(\omega=({\bf{k}}^2+M^2)^{1/2}\)である多粒子状態\(|k,n\rangle\) 。\(n\)は状態を定める他のパラメータである。

Hilbert空間にはこの三種類の状態が存在する。

\(x^0>y^0\)とすると(1)式の\(T\)積は取ることができる。そこで二つの場の間に完全系を挟もう。 すると

\begin{align} \langle 0|\varphi(x)\varphi(y)|0\rangle =&\langle 0|\varphi(x)|0\rangle\langle 0|\varphi(y)|0\rangle\\ &+\int \tilde{dk}\langle 0|\varphi(x)|k\rangle \langle k|\varphi(y)|0\rangle \\ &+\sum_n\int \tilde{dk}\langle 0|\varphi(x)|k,n\rangle \langle k,n|\varphi(y)|0\rangle \tag{8}\end{align}

となる。ここで、\(n\)は連続パラメータかもしれないので\(\sum\)は積分も含んでいる。(2)式を用いると(8)式の前2項は単純化できる。また、\(\varphi(x)=\exp(-iP^{\mu}x_{\mu})\varphi(0)\exp(+iP^{\mu}x_{\mu})\)を用いると

$$\langle k,n|\varphi(x)|0\rangle =e^{-ikx}\langle k,n|\varphi(0)|0\rangle \tag{9}$$

とできる。ここで、\(k^0=({\bf{k}}^2+M^2)^{1/2}\)である。すると(8)式は

$$ \langle 0|\varphi(x)\varphi(y)|0\rangle = \int \tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}+\sum_n\int \tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}|\langle k,n|\varphi(0)|0\rangle |^2\tag{10}$$

と変形できる。次にスペクトル密度\(\rho(s)\)を

$$\rho(s)\equiv \sum_n|\langle k,n|\varphi(0)|0\rangle |^2\delta (s-M^2)\tag{11}$$

で定義しよう。明らかに\(s<=(2m)^2=4m^2\)のときは\(\rho(s)=0\)であり、\(s\ge 4m\)の範囲では\(\rho(s)\ge 0\)である。よって、定義より

$$\int^{\infty}_{4m^2}ds\ \rho(s)= \sum_n|\langle k,n|\varphi(0)|0\rangle | $$

が成り立つ。よって、

$$\langle 0|\varphi(x)\varphi(y)|0\rangle =\int \tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}+\int_{4m^2}^{\infty}ds\ \rho(s)\int\tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}\tag{12}$$

と書くことができる。ここで、第一項ではそのまんま\(k^0=({\bf{k}}^2+m^2)^{1/2}\)であるが、第二項ではデルタ関数があるので\(k^0=({\bf{k}}^2+s)^{1/2}\)とする。\(x,y\)を入れ替えると

$$\langle 0|\varphi(y)\varphi(x)|0\rangle =\int \tilde{dk}\ e^{-ik(x-y)}+\int_{4m^2}^{\infty}ds\ \rho(s)\int\tilde{dk}\ e^{-ik(x-y)}\tag{13}$$

となる。ここで、\(T\)積の定義より

$$\langle 0|T \varphi(x)\varphi(y)|0\rangle =\theta(x^0-y^0)\langle 0|\varphi(x)\varphi(y)|0\rangle +\theta(y^0-x^0)\langle 0|\varphi(y)\varphi(x)|0\rangle \tag{14}$$

である。ここで、\(\theta(t)\)は階段関数である。freeのときを考えると

\begin{align} \langle 0|T \varphi(x)\varphi(y)|0\rangle &=\frac{1}{i}\Delta(x-y)\\ &=\frac{1}{i}\int \frac{d^dk}{(2\pi)^d}\frac{e^{ik(x-y)}}{k^2+m^2-i\epsilon} \end{align}

\begin{align} &\langle 0|\varphi(x)\varphi(y)|0\rangle \\ &=\langle 0|\int\tilde{dk}(a({\bf{k}})e^{ikx}+a^*({\bf{k}})e^{-ikx})\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int\tilde{dk^{\prime}}(a({\bf{k^{\prime}}})e^{ik^{\prime}y}+a^*({\bf{k^{\prime}}})e^{-ik^{\prime}y})|0\rangle\\ &=\langle 0|\int \tilde{dk}\tilde{dk^{\prime}}\ a({\bf{k}})a^*({\bf{k}}^{\prime})e^{ikx-ik^{\prime}y}|0\rangle\\ &=\langle 0|\int \tilde{dk}\tilde{dk^{\prime}}\ (2\pi)^{d-1}(2\omega)\delta^{d-1}({\bf{k}}-{\bf{k}}^{\prime})e^{ikx-ik^{\prime}y}|0\rangle\\ &=\int\tilde{dk}\ e^{ik(x-y)} \end{align}

だから

\begin{align} \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d}\ \frac{e^{ik(x-y)}}{k^2+m^2-i\epsilon}=&i\theta(x^0-y^0)\int\tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}\\ &+i\theta(y^0-x^0)\int\tilde{dk}\ e^{-ik(x-y)} \tag{15}\end{align}

である。よって、一般の場合では

\begin{align} &i\langle 0|T \varphi(x)\varphi(y)|0\rangle\\ &=i\theta(x^0-y^0)\langle 0|\varphi(x)\varphi(y)|0\rangle +i\theta(y^0-x^0)\langle 0|\varphi(y)\varphi(x)|0\rangle\\ &=i\theta(x^0-y^0)\left[\int \tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}+\int_{4m^2}^{\infty}ds\ \rho(s)\int\tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}\right]\\ &\ \ \ \ +i\theta(y^0-x^0)\left[\int \tilde{dk}\ e^{-ik(x-y)}+\int_{4m^2}^{\infty}ds\ \rho(s)\int\tilde{dk}\ e^{-ik(x-y)}\right]\\ &=i\theta(x^0-y^0)\int \tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}+i\theta(y^0-x^0)\int \tilde{dk}\ e^{-ik(x-y)}\\ &\ \ \ \ +\int_{4m^2}^{\infty}ds\ \rho(s)\left[i\theta(x^0-y^0)\int\tilde{dk}\ e^{ik(x-y)}+i\theta(y^0-x^0)\int\tilde{dk}\ e^{-ik(x-y)}\right]\\ &=\int \frac{d^dk}{(2\pi)^d}\ e^{ik(x-y)}\left[\frac{1}{k^2+m^2-i\epsilon}+\int^{\infty}_{4m^2}ds\ \rho(s)\frac{1}{k^2+s-i\epsilon}\right] \tag{16}\end{align}

が成り立つ。したがって、 exact momentum-space propagator の定義より

$$\tilde{{\boldsymbol{\Delta}}}(k^2)=\frac{1}{k^2+m^2-i\epsilon}+\int^{\infty}_{4m^2}ds\ \rho(s)\frac{1}{k^2+s-i\epsilon} \tag{17}$$

の関係式が成り立つ。これはexact momentum-space propagator \(\tilde{{\boldsymbol{\Delta}}(k^2)}\)のLehmann-Kallen形式という。freeなときと比べて2項目分ズレるというわけだ!!

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