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クーロンゲージと量子化:ゲージ場の運動方程式

次は場の時間発展:運動方程式を導いておこう。
\begin{eqnarray}
i\dot{A}^i(x)&=&
[A^i(x),H(x^0)]\\
&=&\int d^3y~
[A^i(x),\mathcal{H}(y)]\\
&=&
\int d^3y~
\left[A^i(x),\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2\right]\\
&=&
\int d^3y~
\Pi^j(y)\left[A^i(x),\Pi^j(y)\right]\\
&=&
-i\int d^3y~
\Pi^j(y)
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&
-i\int d^3y~
\Pi^j(y)
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}
\left(
\delta^j_i-\frac{k^ik^j}{|\textbf{k}|^2}
\right)
e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}\\
&=&
-i\Pi^i(x)\\
&\downarrow&\\
\Pi^i&=&-\dot{A}^i
\end{eqnarray}

6行目から7行目:\(~k^ie^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}~\)のような組み合わせがあった時、\(~\partial_ie^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}~\)のように微分演算子を用いて置き換えることが出来る。このようにして作った微分演算子を部分積分をして\(~\Pi^j(y)~\)の方に作用させれば、拘束条件\(~\nabla\cdot\boldsymbol{\Pi}=0~\)より0にすることが出来る。この事実を用いて第二項を落とした。

\begin{eqnarray}
i\dot{\Pi}^k(x)&=&
\int d^3y\left[
\Pi^k(x),\mathcal{H}(y)
\right]\\
&=&
\int d^3y~\left[
\Pi^k(x),
\frac{1}{2}(\partial_iA^j(y))(\partial_iA^j(y))
\right]\\
&=&
\frac{1}{2}\int d^3y~\left[
\Pi^k(x),
(\partial_iA^j(y))(\partial_iA^j(y))
\right]\\
&=&
\int d^3y~
(\partial_iA^j(y))
\left[
\Pi^k(x),
(\partial_iA^j(y))
\right]
\\
&=&
-\int d^3y~
(\partial_i\partial_iA^j(y))
\left[
\Pi^k(x),
A^j(y)
\right]
\\
&=&
-\int d^3y~
(\partial_i\partial_iA^j(y))
\left[
A_j(y)
,
\Pi^k(x)
\right]\\
&=&
-i\int d^3y~
(\partial_i\partial_iA^j(y))
\delta^k_{jTR}(\textbf{y}-\textbf{x})\\
&=&
-i\triangle A^k(x)~~(\because 計算方法は前述済み)
\end{eqnarray}
従って、上記の2つの計算を組み合わせると
\begin{eqnarray}
\ddot{A}^i
=
-\dot{\Pi}^i
=
\triangle A^i
~~\Rightarrow~~
0=\left[
\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\triangle
\right]A^i=
\square A^i
\end{eqnarray}
以上より、ゲージ場は質量0のクライン・ゴルドン方程式に従うことが分かった。

クーロンゲージと量子化:マクスウェル場の横波量子化

ここまで拘束条件を考慮し、ゲージ場のディラック括弧を計算した。ディラック括弧を構成してしまえば第二量子化はすぐ実行できて、正準量子化の公理

「ディラック括弧を交換関係に対応させよ」

に従えばいい。今まで計算してきたディラック括弧とハミルトニアンを再掲しておくと
\begin{eqnarray}
\left\{{A_0(x)},{\Pi^0(y)}\right\}_D
&=&
0\\
\left\{{A_i(x)},{\Pi^j(y)}\right\}_D
&=&
\delta^j_i(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]
\equiv
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})\nonumber\\
\\
(他の場の組み合わせ)&=&0\\
\nonumber\\
\mathcal{H}_T&=&\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2
+
\frac{1}{2}(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)
\end{eqnarray}
であったので、第二量子化によりゲージ場は全て演算子に置き換わり、以下の交換関係が課される。
\begin{eqnarray}
[A^0(x),\Pi^0(y)]_{同時刻}&=&0\\
\left[A_i(x),\Pi^j(y)\right]_{同時刻}
&=&i\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
これにより第二量子化が完了する。なお拘束条件は全て考慮したので、全ハミルトニアンの添字Tは以後書かない

クーロンゲージと量子化:ディラック括弧の構成

ここまでの拘束条件に通し番号を付けて並べると
\begin{eqnarray}
\phi_1&=&\nabla_iA^i\\
\phi_2&=&\nabla_i\Pi^i\\
\phi_3&=&A^0\\
\phi_4&=&\Pi^0
\end{eqnarray}
となっており、これらのポアソン括弧を計算してみると
\begin{eqnarray}
C(\textbf{x}-\textbf{y})=
\left(\left\{\phi_i(x),\phi_j(y)\right\}\right)
&=&
\begin{pmatrix}
0&\triangle^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})&0&0\\
-\triangle^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})&0&0&0\\
0&0&0&\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
0&0&-\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
になり、これ以上基本変形を繰り返しても簡易化は出来ないので、これらは全て第二種の拘束条件になると分かった。故にディラック括弧を構成することで拘束条件が消去できる。実際にディラック括弧を構成しよう。まず行列$~C~$の逆行列は、$~\int d^3z~C_{ij}^{-1}(\textbf{x}-\textbf{z})C_{jk}(\textbf{z}-\textbf{y})=\delta_{ij}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})~$で定義されていた。
次に行列\(~C~\)の形から、逆行列の形を
\begin{eqnarray}
C^{-1}(\textbf{x}-\textbf{y})
=
\begin{pmatrix}
0&-g(\textbf{x}-\textbf{y})&0&0\\
g(\textbf{x}-\textbf{y})&0&0&0\\
0&0&0&f(\textbf{x}-\textbf{y})\\
0&0&-f(\textbf{x}-\textbf{y})&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
と仮定する事が出来る。これを逆行列の定義式に代入すると、例えば条件式
\begin{eqnarray}
\int d^3z~(\triangle_x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{z}))g(\textbf{z}-\textbf{y})=\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
を得る。この式を部分積分して変形すると
\begin{eqnarray}
\int d^3z~\delta^3(\textbf{x}-\textbf{z})\triangle_zg(\textbf{z}-\textbf{y})=\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
と書き換えられるので、この式を満たす為には
\begin{eqnarray}
\triangle_zg(\textbf{z}-\textbf{y})=\delta^3(\textbf{z}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
と取ってやればいい。この式はポアソン方程式なので簡単に解けて

一般的に微分演算子\(~\hat{Q}~\)があった時、任意の関数\(~f(x)~\)に対する\(~Q^{-1}~\)の作用は、\(~\hat{Q}g(x)=f(x)~\)を満たす\(~g~\)を用いて$~\frac{1}{\hat{Q}}f(x)\equiv g(x)~$で定義される。

\begin{eqnarray}
g(\textbf{z}-\textbf{y})
&=&
\frac{1}{\triangle_z}\delta^3(\textbf{z}-\textbf{y})
=
-\frac{1}{4\pi|\textbf{z}-\textbf{y}|}
\end{eqnarray}
を得る。従って
\begin{eqnarray}
C^{-1}(\textbf{x}-\textbf{y})
=
\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{4\pi|\textbf{z}-\textbf{y}|}&0&0\\
-\frac{1}{4\pi|\textbf{z}-\textbf{y}|}&0&0&0\\
0&0&0&-\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
0&0&\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})&0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
という解を得る。これに基づいて正準変数間のディラック括弧を計算していこう。ディラック括弧が0にならないもの$~or~$重要なものだけ計算を紹介する。
\begin{eqnarray}
\left\{
{A_0(x)},{\Pi^0(y)}
\right\}_D
&=&
\left\{
{A_0(x)},{\Pi^0(y)}
\right\}_P

\int d^3zd^3w~
\left\{
{A_0(x)},{\phi_4(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{43}(\textbf{z}-\textbf{w})
\left\{
{\phi_3(w)},{\Pi^0(y)}
\right\}_P\nonumber\\
\\
&=&
\left\{
{A_0(x)},{\Pi^0(y)}
\right\}_P

\int d^3zd^3w~
\left\{
{A_0(x)},{\Pi^0(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{43}(\textbf{z}-\textbf{w})
\left\{
{A^0(w)},{\Pi^0(y)}
\right\}_P\nonumber\\
\\
&=&
\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3zd^3w~
\delta^3(\textbf{x}-\textbf{z})
\delta^3(\textbf{z}-\textbf{w})
\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\\
&=&
0\\
\end{eqnarray}
これは実は自明であったが、確認のために計算してみた。というのも、$~A^0~$も$~\Pi^0~$も拘束条件なのでディラック括弧の中では自明に0であるからだ。
\begin{eqnarray}
\left\{
{A_i(x)},{\Pi^j(y)}
\right\}_D
&=&
\left\{
{A_i(\textbf{x})},{\Pi^j(\textbf{y})}
\right\}_P

\int d^3zd^3w~
\left\{
{A_i(x)},{\phi_2(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\left\{
{\phi_1(w)},{\Pi^j(y)}
\right\}_P\nonumber\\
&=&
\delta^j_i(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3zd^3w~
\left\{
{A_i(x)},{\nabla_z\cdot\boldsymbol{\Pi}(z)}
\right\}
C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\left\{
{\nabla_w\cdot\textbf{A}(w)},{\Pi^j(y)}
\right\}_P\nonumber\\
\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3zd^3w~
\partial^z_m
\left\{
{A_i(x)},{\Pi^m(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\partial^w_n\left\{
{A^n(w)},{\Pi^j(y)}
\right\}_P
\nonumber\\
\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})
+
\int d^3zd^3w~
\partial^z_m\left\{
{A_i(x)},{\Pi^m(z)}
\right\}_P
C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\partial^w_n\left\{
{A_n(w)},{\Pi^j(y)}
\right\}_P
\nonumber\\
\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[C^{-1}_{21}(\textbf{z}-\textbf{w})
\partial_n^w\left\{{A_n(w)},{\Pi^j(y)}\right\}_P\right]\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[C^{-1}_{21}(\textbf{x}-\textbf{w})
\partial_j^w\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})
\right]\\
&=&
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]
\equiv
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
他の場のディラック括弧は0になる。ちなみに最後の式は横波デルタ関数と呼ばれ、次の性質を満たす。
\begin{eqnarray}
\partial_i^x\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})&=&\partial_i^x\left(
\delta^j_i\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]
\right)\\
&=&
\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial_i^x\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]\\
&=&
\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\triangle
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]\\
&=&
\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)\\
&=&
\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})

\partial_j^x\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&0
\end{eqnarray}
よって、横波デルタ関数はクーロンゲージ条件と同じ形の$~\nabla_i\delta_i^j(\textbf{x}-\textbf{y})=0~$を満たす。とは言っても当然の結果で、そもそもディラック括弧の構成から明らかだが、ディラック括弧内では好きなように拘束条件を0に出来るのだった。だから、
\begin{eqnarray}
\partial_i^x\left\{
{A_i(x)},{\Pi^j(y)}
\right\}_D
&=&
\left\{{\partial_i^xA_i(x)},{\Pi^j(y)}\right\}_D
=
\left\{
{\phi_1(x)},{\Pi^j(y)}
\right\}_D
=0
\end{eqnarray}
が成り立つので、最右辺も整合性から0にならなければならないのは必然なのである。横波デルタ関数の運動量表示も求めておこう。まず\(~\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]~\)を書き直すと
\begin{eqnarray}
\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]&=&
-\partial^y_j\partial_i^x\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&
\partial^x_j\partial_i^x\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&
\partial^x_j\partial_i^x\frac{1}{\triangle}
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}\\
&=&
\partial^x_j\partial_i^x
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\frac{-1}{|\textbf{k}|^2}e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}\\
&=&
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\frac{k^ik^j}{|\textbf{k}|^2}e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}
\end{eqnarray}
従って、横波デルタ関数のフーリエ変換は
\begin{eqnarray}
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
=
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\delta^j_ie^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}

\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\frac{k^ik^j}{|\textbf{k}|^2}e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}
&=&
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~
\left(
\delta^j_i-\frac{k^ik^j}{|\textbf{k}|^2}
\right)
e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}\\
or~&=&
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}~
\left(
\delta^j_i+\frac{k_ik^j}{|\textbf{k}|^2}
\right)
e^{i\textbf{k}(\textbf{x}-\textbf{y})}
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
\delta^j_{iTR}(k)=\delta^j_i+\frac{k_ik^j}{|\textbf{k}|^2}
\end{eqnarray}
を得る。位置座標表示に比べ、こちらのほうが幾分見やすいだろう。この運動量表示を見てみると、次の公式を得ることが出来る。
\begin{eqnarray}
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
=
\delta^j_{iTR}(\textbf{y}-\textbf{x})
=
\delta^i_{jTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}

クーロンゲージと量子化:拘束条件の整合性と未定乗数の決定

なぜ未定乗数が決まらなかったのか、それはゲージ対称性が理論にあるからだ。そこで例えばクーロンゲージ条件を追加で課してみよう:
\begin{eqnarray}
\partial_iA^i\approx0
\end{eqnarray}
この新しい拘束条件の整合性を確認しよう。
\begin{eqnarray}
\int d^3y~\left\{
\partial_i^xA^i(x),\mathcal{H}_T(y)
\right\}
&=&
\int d^3y~\left\{
\partial_i^xA^i(x),
\frac{1}{2}(\Pi^i(y))^2
+
\Pi^i(y)\partial^y_iA^0(y)
\right\}\\
&=&
\partial_i\Pi^i(x)-\triangle A^0(x)\\
&\approx&-\triangle A^0(x)
\end{eqnarray}
最後に残った項は既存の拘束条件で0に出来ないので、新しい拘束条件となる。もちろん$~\triangle A^0\approx0~$を新しい拘束条件としてもいいが、もっと強く$~A^0\approx0~$を要請しよう。この新しい拘束条件の整合性より
\begin{eqnarray}
\left\{
A^0(x),H_T
\right\}
&=&\int d^3y~
\left\{
A^0(x),\lambda(y)\Pi^0(y)
\right\}
\approx\lambda(x)
\end{eqnarray}
よってこの条件の整合性は未定乗数を0にすることで満足される。以上により、整合性は全て満たされた。以上より、クーロンゲージが課された結果は全ての拘束条件を考慮して、以下の全ハミルトニアンに纏められる(拘束条件を使って落とせる項は可能な限り消した)。
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}_T=
\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2
+
\frac{1}{2}(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)
\end{eqnarray}

とりあえず、ここまでに課された拘束条件を通し番号を付けて並べると
\begin{eqnarray}
\phi_1&=&\nabla_iA^i\\
\phi_2&=&\nabla_i\Pi^i\\
\phi_3&=&A^0\\
\phi_4&=&\Pi^0
\end{eqnarray}
となっている。蛇足だが、当然これらの整合性は上記の全ハミルトニアンから保証されている。

一応述べておくが、この全ハミルトニアンは古典電磁気学のエネルギー密度に一致している。それを見ておこう。共役運動量は拘束条件を使うことで\(~\Pi^i=-F^{0i}=-\dot{A}^i-\partial_iA^0\approx-\dot{A}^i~\)になるので、通常の電場とゲージ場の関係式より
\begin{eqnarray}
E^i&=&\left(-\nabla\phi-\frac{\partial}{\partial t}\textbf{A}\right)^i\\
&=&
-\partial_iA^0-\dot{A}^i\\
&\approx&-\dot{A}^i\\
&=&\Pi^i
\end{eqnarray}
を得る。一方で、天下り的だが
\begin{eqnarray}
\int d^3x~B^iB^i=\int d^3x~(\epsilon^{ijk}\partial_jA_k)(\epsilon^{imn}\partial_mA_n)&=&\int d^3x~(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)

(\partial_iA^j)(\partial_jA^i)\\
(部分積分と拘束条件で第二項は消える\rightarrow)&\approx&\int d^3x~(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)
\end{eqnarray}
となるから、この結果を持って全ハミルトニアンは
\begin{eqnarray}
H_T&=&\int d^3x~
\mathcal{H}_T\\
&=&
\int d^3x~\left[\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2
+
\frac{1}{2}(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)\right]\\
&=&
\frac{1}{2}\int d^3x~\left(
\mathbf{E}^2+\mathbf{B}^2
\right)
\end{eqnarray}
となり、古典電磁気学のエネルギー密度に厳密に一致する。

マクスウェル場の拘束条件と未定乗数

マクスウェル場を古典場として扱い、拘束系の解析力学の知識を用いてディラック括弧を構成してしまおう。その前に注意として、以下の計算では全ての引数の時刻は等しいものとして計算する。例えば\(~A_\nu(x)~\)や\(~\partial_\mu A_\nu(y)~\)などが登場するが、どちらも時間成分は等しいとする。でないとポアソン括弧が計算できない。

まずマクスウェル場の共役運動量は定義より、
\begin{eqnarray}
\Pi^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0A_\mu)}=-F^{0\mu}
\end{eqnarray}
なので、普通にハミルトニアンを求めると
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}=\Pi^\mu \dot{A}_\mu-\mathcal{L}
=
\Pi^0\dot{A}_0+
\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2
+
(\boldsymbol{\Pi}\cdot\nabla)A^0
+
\frac{1}{2}(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)

\frac{1}{2}(\partial_iA^j)(\partial_jA^i)
\end{eqnarray}
になる。さて、共役運動量$~\Pi^0~$は$~0~$であることが上の計算からすぐ分かるが、これは理論の拘束条件になっているので、適切に取り込まなくてはならない。そのために拘束系の一般論に従い、ハミルトニアンに対し未定乗数$~\lambda~$を加え
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}_T&=&\mathcal{H}+\lambda\Pi^0
\end{eqnarray}
というような全ハミルトニアンなるものを定義することにしよう。なおハミルトニアンに含まれている第一項は、未定乗数の項に纏めてられるので、ハミルトニアンからは省こう。さて今から拘束条件の整合性を確認しながら、未定乗数の決定の可否について見ていく。なお拘束条件と全ハミルトニアンのポアソン括弧を以下で計算していくが、全ハミルトニアンの項で拘束条件と明らかに0のものは初めから省いた。

まず$~\Pi^0\approx0~$の整合性を見ると
\begin{eqnarray}
\left\{
\Pi^0(x),H_T
\right\}
&=&
\int d^3y\left\{
\Pi^0(x),\mathcal{H}_T(y)
\right\}\\
&=&
\int d^3y
\left\{
\Pi^0(x),(\boldsymbol{\Pi}(y)\cdot\nabla^y)A^0(y)
\right\}\\
&=&
\int d^3y~
\boldsymbol{\Pi}(y)\cdot\nabla^y\left\{
\Pi^0(x),A^0(y)
\right\}\\
&=&-\int d^3y~
\boldsymbol{\Pi}(y)\cdot\nabla^y\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})\\
&=&
\nabla_i{\Pi}^i
\end{eqnarray}
となるが、これは既存の拘束条件$~\Pi^0=0~$では0にならないので、新しい拘束条件
\begin{eqnarray}
\nabla_i\boldsymbol{\Pi}^i\approx0
\end{eqnarray}
を課す事にする。次にこの拘束条件の整合性を確認すると
\begin{eqnarray}
\left\{
\nabla_k^x{\Pi}^k(x)
,
H_T
\right\}
&=&
\int d^3y~
\nabla_k^x\left\{
{\Pi}^k(x)
,
\mathcal{H}_T(y)
\right\}\\
&=&
\int d^3y~
\nabla_k^x\left\{
{\Pi}^k(x)
,
\frac{1}{2}(\partial^y_iA^j(y))(\partial^y_iA^j(y))

\frac{1}{2}(\partial_i^yA^j(y))(\partial_j^yA^i(y))
\right\}\\
&=&
\int d^3y~
\nabla_k^x\left\{
\frac{1}{2}(\partial^y_iA^j(y))(\partial^y_iA^j(y))

\frac{1}{2}(\partial_i^yA^j(y))(\partial_j^yA^i(y))
,{\Pi}^k(x)
\right\}\\
&=&
\int d^3y~\nabla^x_k\left[
(\partial_i^yA^j(y))\partial_i^y(-\delta_{jk}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y}))

(\partial^y_jA^i(y))\partial_i^y(-\delta_{jk}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y}))
\right]\\
&=&
\int d^3y~\nabla^x_j\left[
(\partial_i^yA^j(y))\partial_i^y(-\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y}))

(\partial^y_jA^i(y))\partial_i^y(-\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y}))
\right]\\
&=&
\int d^3y~\left[
(\partial_i^yA^j(y))\partial_i^y\partial_j^y(\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y}))

(\partial^y_jA^i(y))\partial_i^y\partial_j^y(\delta^3(\textbf{x}-\textbf{y}))
\right]\\
&=&0
\end{eqnarray}
よって、これで整合性は確認ができ、未定乗数が決まらなかったものの、理論の整合性は確立された。