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デルタ関数の初等関数表示

デルタ関数は一見初等関数とはかけ離れたものに見える。デルタ関数は関数ではなく超関数というクラスに属すので、確かに普通の関数とは性質も何もかもかけ離れている。しかし極限操作を使うことで初等関数を用いてデルタ関数を表現することが出来る。

注目すべきはデルタ関数はある一点(例えば$~\delta(x)~$なら$~x=0~$)でのみ値を持ち、かつその関数が作るグラフの面積はジャスト1になることである。そこで次のような関数を考えてみよう。
\begin{equation}
y=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right\}
\end{equation}
(この関数は統計学でいう平均0、標準偏差$~\sigma~$の正規分布である)。この関数の特徴は$~\sigma~$の値にかかわらず常に面積が1で、かつ$~\sigma~$が0に行けば行くほど原点付近に鋭いピークを持つようになる。従って$~σ→0~$の極限で正規分布はデルタ関数に近づく。つまり
\begin{equation}
\delta(x)=\lim_{\sigma\to0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right\} \end{equation}
となり、初等関数の極限でデルタ関数を表現することが出来る。実際に$~\sigma~$を減らしつつグラフを書いたのが以下になるが、$~\sigma~$が小さくなりに連れ(色で言うと赤に行くに連れ)、原点付近に鋭いピークが立って行く様子が見て取れる。

しかし関数のグラフの様子が同じだからといってデルタ関数と同じと断定してはいけない。何故ならデルタ関数の定義はあくまで
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx=f(0)
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty f(x)\left[
\lim_{\sigma\to0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right\}
\right]dx=f(0)
\end{eqnarray}
を満たして初めて同じと言える。厳密性は無いがこれをある程度厳密”的”に証明してみよう。クドく言うが、示すのはあくまで証明の心だ。

\begin{eqnarray}
&&\int_{-\infty}^\infty f(x)\left[\lim_{\sigma\to0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right\}\right]dx\\
&=&
\lim\limits_{\sigma\to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\int_{-\infty}^\infty f(x)\exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right]dx\\
(f(x)を原点周りでテーラー展開)
&=&\lim\limits_{\sigma\to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\int_{-\infty}^\infty \left[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\right]\exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right]dx\\
&=&\lim\limits_{\sigma\to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}
\int_{-\infty}^\infty x^n\exp\left[-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right]dx\\
(t=x/\sigma と置換)&=&\lim\limits_{\sigma\to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\sigma^{n+1}
\int_{-\infty}^\infty t^n\exp\left[-\frac{t^2}{2}\right]dt\\
(\sigma\to0 で残るのはn=0のみ)&=&f(0)\times\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^\infty \exp\left[-\frac{t^2}{2}\right]dt\\
&=&f(0)
\end{eqnarray}

以上で証明が出来た!このように極限操作を含めれば、デルタ関数を初等関数で扱うことが出来ると分かった。この他にも、デルタ関数と同じふるまいをする関数として
\begin{eqnarray}
\delta(x)=\lim\limits_{a\to\infty}\frac{\sin(ax)}{\pi x}\label{243}
\end{eqnarray}
もある。以下で一応示すが、複素積分の公式を使うので気持ちよくない。読者自ら調べて是非証明してみて欲しい。
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty f(x)\left[\lim\limits_{a\to\infty}\frac{\sin(ax)}{\pi x}\right]dx
&=&
\lim\limits_{a\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{\sin(ax)}{x}dx\\
&=&
\lim\limits_{a\to\infty}
\frac{1}{2\pi}Im\left[\oint f(z)\frac{e^{iaz}}{z}dz\right]\\
&=&
Im\left[
i\lim\limits_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi i}
\oint f(z)\frac{e^{iaz}}{z}dz\right]\\
&=&Im\left[if(0)\right]\\
&=&f(0)
\end{eqnarray}