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クーロンゲージと量子化:マクスウェル場の横波量子化

ここまで拘束条件を考慮し、ゲージ場のディラック括弧を計算した。ディラック括弧を構成してしまえば第二量子化はすぐ実行できて、正準量子化の公理

「ディラック括弧を交換関係に対応させよ」

に従えばいい。今まで計算してきたディラック括弧とハミルトニアンを再掲しておくと
\begin{eqnarray}
\left\{{A_0(x)},{\Pi^0(y)}\right\}_D
&=&
0\\
\left\{{A_i(x)},{\Pi^j(y)}\right\}_D
&=&
\delta^j_i(\textbf{x}-\textbf{y})

\int d^3w~
\partial^x_i
\left[\frac{1}{\triangle}\delta^3(\textbf{x}-\textbf{w})
\left(\partial^w_j\delta^3(\textbf{w}-\textbf{y})\right)
\right]
\equiv
\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})\nonumber\\
\\
(他の場の組み合わせ)&=&0\\
\nonumber\\
\mathcal{H}_T&=&\frac{1}{2}\boldsymbol{\Pi}^2
+
\frac{1}{2}(\partial_iA^j)(\partial_iA^j)
\end{eqnarray}
であったので、第二量子化によりゲージ場は全て演算子に置き換わり、以下の交換関係が課される。
\begin{eqnarray}
[A^0(x),\Pi^0(y)]_{同時刻}&=&0\\
\left[A_i(x),\Pi^j(y)\right]_{同時刻}
&=&i\delta^j_{iTR}(\textbf{x}-\textbf{y})
\end{eqnarray}
これにより第二量子化が完了する。なお拘束条件は全て考慮したので、全ハミルトニアンの添字Tは以後書かない